Графическое изображение результатов измерений. Гистограмма. Полигон распределения

Гистограмма служит для графического изображения интервальных рядов и строится следующим образом: на оси абсцисс наносятся интервалы, в которых принимает значения наблюдаемый признак, а на оси ординат – частоты (относительные частоты) попадания наблюдаемого признака в соответствующий интервал. Гистограммой является ступенчатая фигура, ограничиваемая построенными таким образом прямоугольниками.

Для определенности будем считать, что задан интервальный ряд частот.

Х	[ , )	[ , )	…………	[ , ]
			…………

Тогда, согласно определению, данному выше, гистограмма этого интервального ряда имеет следующий вид:

Вариационные ряды геометрически изображают при помощи полигонов частот или относительных частот. Пусть, для определенности, задан вариационный ряд частот

63

Х			…………
			…………

На плоскость наносят точки с координатами и соединяют их ломаной. Крайние левую и правую точки соединяют с ближайшими точками вида , где h – шаг. Таким образом, полигон имеет следующий вид:

Замечание. Иногда для графического изображения вариационных рядов используют не полигоны, а, так называемые, куммулятивные кривые. Например, куммулятивная кривая частот есть ломанная, соединяющая точки . Аналогичным образом определяется куммулятивная кривая относительных частот.

Эмпирическая функция распределения. Эмпирические числовые характеристики.

Пусть наблюдаемый признак задан вариационным рядом относительных частот

Х			……………..
			……………..

Поскольку , то вариационный ряд относительных частот является законом распределения для некоторой дискретной случайной величины . Случайную величину называют эмпирической СВ, соответствующей рассматриваемой выборке наблюдаемого признака Х. Разумеется при изменении выборки эмпирическая СВ также меняется. Обозначим через функцию распределения СВ , построенную по выборке объема п. Эту функцию называют эмпирической функцией распределения СВ Х. Эмпирическая функция распределения при неограниченном увеличении объема выборки в некотором смысле приближается к функции распределения наблюдаемого признака Х. Точнее, имеет место следующее утверждение.

Теорема Гливенко-Кантелли. Эмпирическая функция распределения при неограниченном увеличении объема выборки сходится к функции распределения наблюдаемого признака по вероятности равномерно по х, то есть .

Определение. Числовые характеристики эмпирической СВ называются эмпирическими числовыми характеристиками.

Это означает, что определены эмпирическое математическое ожидание, эмпирическая дисперсия, эмпирическое среднее квадратическое отклонение. Условимся в обозначениях эмпирических числовых характеристик употреблять в качестве нижнего индекса букву «э». Таким образом, по определению:

, ,

при этом, как обычно, .

Теорема Гливенко-Кантелли наводит на мысль о том, что эмпирические числовые характеристики должны быть приближенно равны соответствующим числовым характеристикам наблюдаемого признака.