§38. Загальні поняття про статистичні гіпотези

Під статистичною гіпотезою розуміють будь-які припущення відносно генеральної сукупності, що висуваються на підставі вибірки, реалізованої з неї. Статистичні гіпотези відносно параметрів закону розподілу називаються параметричними гіпотезами. Наприклад, гіпотези відносно значень математичного сподівання або дисперсії. Непараметричною гіпотезою називається зроблене на підставі вибірки припущення відносно закону розподілу генеральної ознаки. Так, наприклад, може бути зроблене припущення, що генеральна ознака розподілена за нормальним або показниковим законами.

Гіпотезу, що підлягає перевірці, називають основною або нульовою гіпотезою і позначають .

Наприклад,

або

,

де - генеральна ознака.

Кожній нульовій гіпотезі може бути протиставлена одна або декілька інших, які називаються альтернативними і позначаються . Так, альтернативними до вказаних вище нульових гіпотез можуть бути наступні:

;

.

Для перевірки статистичних гіпотез обирається якась випадкова величина , закон розподілу якої відомий. Ця випадкова величина називається статистичним критерієм.

Позначимо через множину всіх можливих значень статистичного критерію . Нехай така, що: коли , нульова гіпотеза не відхиляється. Ця область називається областю прийняття нульової гіпотези.

Множина така, що за умови нульова гіпотеза не приймається, називається критичною областю. Точки, які відділяють область прийняття гіпотези від критичної області, називають критичними точками.

Нижче на малюнку показано випадок, коли

, , - критичні точки:

Рис. 16

Для статистичної перевірки правильності нульової гіпотези задається мале додатне число , яке називається рівнем значущості. В основу перевірки закладається ймовірнісний принцип:

або (38.1)

Після задання рівня значущості обчислюється значення критерію за даними вибірки:

1. У разі, коли , то приймається основна гіпотеза і відкидається альтернативна .

2. За умови, коли , хоча ця подія згідно (38.1) є малоймовірною, основна гіпотеза відхиляється і приймається альтернативна .

Число називається потужністю критерію. Слід зауважити, що яким би малим не було число у (38.1), події або є випадковими. Тому при перевірці правильності гіпотези можуть бути допущені помилки. Розрізняють помилки першого і другого роду.

Якщо вірна, але за результатами перевірки відхиляється, то це помилка першого роду.

Якщо невірна, але за результатами перевірки приймається, то це помилка другого роду.

§39. Перевірка гіпотези про середнє значення генеральної середньої

Нехай відносно генеральної ознаки висунута гіпотеза

.

У якості статистичного критерію обирається випадкова величина

(39.1)

Тут – об’єм вибірки, – вибіркове середнє, .

Як відомо, випадкова величина розподілена за нормованим нормальним законом . Задамо рівень значущості і для визначення критичних точок розглянемо рівняння

. (39.2)

Звідки знаходимо (дивись (21.4)):

.

Тоді з (39.2) знаходимо, що , де – розв’язок рівняння

.

Таким чином, згідно обраного критерію:

Рис. 17

Областю прийняття гіпотези буде інтервал – критичні точки. Нерівність може бути записана у вигляді

. (39.3)

Таким чином, якщо обчислене за результатами вибірки об’єму вибіркове середнє задовольняє нерівність (39.3), то гіпотеза приймається згідно критерію (38.1) з рівнем значущості .

Недоліком критерію (39.1) є те, що він вимагає знання генеральної дисперсії . Якщо ця дисперсія невідома, то у якості статистичного критерію обирається випадкова величина

, (39.4)

де - зміщена вибіркова дисперсія.

Випадкова величина розподілена за законом Ст’юдента з ступенями свободи. Тоді критичні точки знаходимо з рівняння

. (39.5)

Визначаємо ймовірність

.

З останньої рівності і (39.5) випливає, що , де – корінь рівняння

.

Наближене значення цього кореня знаходиться за допомогою таблиць.

Таким чином, областю прийняття гіпотези є інтервал . Останнє еквівалентно тому, що має здійснюватися нерівність

. (39.6)

Гіпотеза приймається у випадку, коли за результатами вибірки і такі, що виконується нерівність (39.6).