§ 16. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення випадкової величини

Математичне сподівання визначає середнє значення випадкової величини, але не містить ніякої інформації про відхилення цієї величини від середнього значення. Мірою розсіювання випадкової величини є дисперсія.

Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання:

. (16.1)

Згідно з формулою (15.2) у випадку дискретної випадкової величини із законом розподілу (15.1) маємо:

. (16.2)

Якщо – неперервна випадкова величина з густиною розподілу , то її дисперсія дорівнює

. (16.3)

Розглянемо основні властивості дисперсії.

1. Для будь-якої випадкової величини .

2. Якщо – стала, невипадкова величина, то

. (16.4)

3. Якщо – стала, то

. (16.5)

4. Для будь-якої випадкової величини виконується рівність

. (16.6)

Дійсно, згідно з означенням

.

Далі скористаємось формулами (15.4), (15.5), (15.7), (15.8):

.

5. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій

. (16.7)

Згідно з (16.6) маємо:

. (16.8)

Знаходимо:

;

.

Після підстановки останніх виразів у (16.8) маємо:

.

Недоліком дисперсії є те, що вона має розмірність квадрата випадкової величини і її незручно використовувати як міру розсіювання. Цього недоліку позбавлене середнє квадратичне відхилення, яке дорівнює квадратному кореню із дисперсії:

. (16.9)

На практиці досить часто використовують центровані і нормовані випадкові величини. Центрованою випадковою величиною називається відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:

.

Теорема. Математичне сподівання центрованої випадкової величини дорівнює , а .

Дійсно, згідно з (15.5) знаходимо

.

Аналогічно, згідно з (16.4) і (16.7) маємо:

.

Нормованою випадковою величиною називається відношення центрованої випадкової величини до її середнього квадратичного відхилення:

.

Очевидно, що для нормованої випадкової величини виконуються рівності:

§ 17. Початкові, центральні моменти та інші характеристики випадкових величин

Математичне сподівання і дисперсія або середнє квадратичне відхилення є основними характеристиками випадкової величини. Їх узагальненням є поняття моментів.

Початковим моментом -го порядку називається математичне сподівання випадкової величини :

.

Початковий момент дискретної величини із законом розподілу (15.1) обчислюється за формулою

. (17.1)

У випадку неперервної випадкової величини з густиною розподілу маємо формулу:

. (17.2)

Центральним моментом -го порядку випадкової величини називається математичне сподівання -го степеня її відхилення від математичного сподівання

.

Центральний момент дискретної випадкової величини дорівнює

. (17.3)

Центральний момент неперервної випадкової величини дорівнює

. (17.4)

Наслідком означення моментів є наступні рівності:

.

Нормований центральний момент третього порядку використовується як характеристика асиметрії розподілу і називається коефіцієнтом асиметрії

.

Нормований центральний момент четвертого порядку необхідний для обчислення ексцесу

.

Останній характеризує гостровершинність розподілу.

До характеристик випадкових величин також належать мода і медіана.

Модою випадкової величини називається її значення, яке має найбільшу ймовірність.

Медіаною випадкової величини називається її значення , для якого виконується рівність

.