§ 27. Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції

Особливу роль при вивчені системи двох випадкових величин відіграє центральний момент другого порядку . Цей момент називається кореляційним і для нього вводиться спеціальне позначення

. (27.1)

Для системи дискретних величин з законом розподілу (10.2) кореляційний момент обчислюється за формулою

. (27.2)

Якщо двовимірна випадкова величина неперервна і має густину розподілу , то

. (27.3)

Кореляційний момент є величиною, яка показує наявність зв’язку між величинами і . Підтвердженням цього є наступна теорема.

Теорема. Кореляційний момент двох незалежних випадкових величин дорівнює 0.

Доведення теореми проведемо для неперервних випадкових величин. Нехай і – незалежні. Тоді має місце рівність (25.6). Після підстановки (25.6) у (27.3) маємо

.

При доведенні було використано, що центральний момент першого порядку для будь-якої випадкової величини дорівнює 0.

Таким чином, якщо кореляційний момент двох випадкових величин відрізняється від 0, то це ознака залежності між ними. Випадкові величини, кореляційний момент яких дорівнює 0, називаються некорельованими. З доведеної теореми випливає, що незалежні випадкові величини є некорельованими. Обернене твердження не є вірним.

Кореляційний момент має наступні властивості:

1. ;

2. ;

3. .

З усіх можливих кореляційних моментів для двовимірної випадкової величини можна скласти кореляційну матрицю

.

З означення кореляційного моменту випливає, що коли величини і мають розмірність, то кореляційний момент також буде розмірною величиною. Тому на практиці для характеристики зв’язку між величинами і використовують коефіцієнт кореляції, який дорівнює

. (27.4)

З доведеної вище теореми випливає, що для незалежних випадкових величин коефіцієнт кореляції дорівнює 0.

Із властивостей кореляційного моменту одержуємо відповідні властивості коефіцієнта кореляції:

1. ;

2. ;

3. .

Також розглядається нормована кореляційна матриця:

.

Коефіцієнт кореляції є безрозмірною характеристикою залежності випадкових величин і . Чим більше значення , тим більш сильний зв’язок між випадковими величинами. Покажемо, що найбільше абсолютне значення він приймає тоді, коли випадкові величини пов’язані лінійною залежністю:

.

Для цього попередньо зауважимо, що

.

З огляду на це кореляційний момент дорівнює

.

Аналогічно

.

Згідно з (27.4) тепер знаходимо

,

тоді .

§ 28. Двовимірний нормальний закон розподілу

Двовимірна випадкова величина називається розподіленою за нормальним законом, якщо її густина розподілу визначається формулою

(28.1)

Можна бачити, що у формулу (28.1) ввійшли 5 параметрів: . Зміст цих параметрів встановлюють наступні властивості двовимірного нормального закону, які наведено без доведення.

1. Якщо двовимірна випадкова величина розподілена за нормальним законом, то кожна з величин і також є нормально розподіленою, причому відповідні густини розподілу дорівнюють:

. (28.2)

Це означає, що – математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення випадкової величини , а – математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення випадкової величини .

2. Якщо двовимірна випадкова величина розподілена за законом (28.1), то коефіцієнт кореляції випадкових величин і дорівнює:

.

3. Нехай розподілена за законом (28.1). Тоді, якщо і некорельовані, то вони є незалежними.

Дійсно, при з (28.1) знаходимо:

. (28.3)

Порівняння (28.3) з (28.2) показує, що

.

Остання рівність є необхідною і достатньою умовою незалежності двох випадкових величин.

Знайдемо лінії рівня функції (28.1)

.

З останньої рівності випливає

.

Після логарифмування обох частин останньої рівності і введення позначення приходимо до рівняння

, . (28.4)

Це рівняння на площині визначає криву другого порядку. Шляхом зведення цього рівняння до канонічного вигляду можна переконатись, що воно визначає еліпс з центром в точці , осі симетрії якого повернені відносно осей системи на деякий кут (Рис. 12)

Рис. 12

Цей еліпс називається еліпсом розсіювання, т. називається центром розсіювання, осі симетрії еліпса розсіювання називаються головними осями розсіювання.

Кут визначається з рівняння [9]:

.

Якщо перейти до системи координат , центр якої збігається з центром розсіювання, а координатні осі – з головними осями розсіювання, то у цій системі рівняння еліпса розсіювання набуває канонічного вигляду :

. (28.5)

Тут – головні середні квадратичні відхилення, які виражаються через середні квадратичні відхилення у системі координат за формулами:

,

. (28.6)

Тепер, якщо розглянути випадкову величину – координати випадкової точки в системі координат , то її густина розподілу дорівнює

. (28.7)

Густина розподілу, перетворена до вигляду (28.7), називається канонічною формою нормального закону розподілу на площині.