Умовна дисперсія та середнє квадратичне відхилення

,

.

Отже,

Задача 7. Знайти методом найбільшої правдоподібності точкову оцінку невідомого параметра (ймовірність появи події в одному випробуванні) біноміального розподілу:

,

де – число появи події в -му досліді, – кількість випробувань в одному досліді, – число дослідів.

Розв’язання.

Утворимо функцію правдоподібності:

.

Враховуючи, що та , отримаємо

або

.

Напишемо логарифмічну функцію правдоподібності:

.

Знайдемо першу похідну за , враховуючи, що перші доданки є сталими:

.

Прирівнявши першу похідну до нуля та розв’язавши отримане рівняння, отримаємо критичну точку

.

Знайдемо другу похідну за :

.

Можна бачити, що при друга похідна від’ємна; отже, ця точка є точкою максимуму і її треба прийняти за оцінку найбільшої правдоподібності невідомої ймовірності біноміального розподілу:

.

Задача 8. Випадкова величина (час безвідмовної роботи елемента пристрою) має показниковий розподіл , . Далі наведено емпіричний розподіл середнього часу роботи 1000 елементів (в першому рядку вказано середнє значення безвідмовної роботи одного елемента в годинах; у другому рядку вказана частота – кількість елементів, які пропрацювали в середньому годин):

	5	15	25	35	45	55	65
	385	245	150	100	70	45	25

Знайти методом найбільшої правдоподібності точкову оцінку невідомого параметра показникового розподілу.

Розв’язання.

Утворимо функцію правдоподібності

.

Оскільки і , то

.

Знайдемо логарифмічну функцію правдоподібності:

.

Далі знайдемо першу похідну за :

.

Запишемо рівняння правдоподібності, для цього прирівняємо отриману похідну до 0. Розв’язавши отримане рівняння відносно , знайдемо критичні точки:

, .

Знайдемо другу похідну за :

.

Видно, що при . Ця точка є точкою максимуму. Отже, за оцінку найбільшої правдоподібності треба взяти .

Питання для повторення

1. Поясніть поняття генеральної сукупності, вибірки, варіанти.

2. Який ряд називають варіаційним.

3. Яка функція називається емпіричною функцією розподілу, які її властивості.

4. Вкажіть властивості вибіркової оцінки параметрів розподілу.

5. Які основні вибіркові характеристики двовимірного статистичного розподілу.

107