§ 36. Приклади розв’язання типових задач
Задача 1. За допомогою радіодальноміра було здійснено 16 вимірювань однієї і тієї самої відстані. Результати вимірювання в метрах наведені у вигляді статистичного ряду:
201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210, 204, 192, 195, 211, 206, 196, 208, 197.
Побудувати розподіл відносних частот.
Розв’язання.
Дискретний статистичний розподіл має вигляд:
|
191 |
192 |
195 |
196 |
197 |
198 |
201 |
203 |
204 |
206 |
207 |
208 |
210 |
211 |
|
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
Об’єм
вибірки
.
Знайдемо відносні частоти
,
Запишемо шуканий розподіл відносних частот:
|
191 |
192 |
195 |
196 |
197 |
198 |
201 |
203 |
204 |
206 |
207 |
208 |
210 |
211 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2. Побудувати полігон частот за даним розподілом вибірки і графік статистичної функції розподілу.
-
2
3
5
6
10
15
5
20
Розв’язання.
Відкладемо
на осі абсцис варіанти
,
а на осі ординат – відповідні їм частоти
.
З’єднаємо точки
відрізками прямих. В результаті отримаємо
полігон частот.
Для
побудування графіка статистичної
функції розподілу скористаємось формулою
(31.3), в якій
:
;
;
;
;
.
Отже, графік статистичної функції розподілу має вигляд:
Задача 3. Побудувати гістограму частот за даними інтервального ряду
номер інтервалу
|
частковий інтервал
|
частоти влучення до інтервалу
|
|
1 |
|
5 |
1 |
2 |
|
10 |
2 |
3 |
|
25 |
5 |
4 |
|
6 |
1,2 |
5 |
|
4 |
0,8 |
Розв’язання.
Побудуємо
на осі абсцис задані інтервали довжиною
.
Побудуємо на цих інтервалах прямокутники
висотою
.
Гістограма буде мати вигляд:
Задача 4. З генеральної сукупності виконана вибірка об’єму :
варіанта 2 5 7 10
частота 16 12 8 14.
Знайти незміщену оцінку генеральної середньої і генеральної дисперсії.
Розв’язання.
Незміщеною оцінкою генеральної середньої є вибіркова середня
.
Вибіркова дисперсія має вигляд:
.
Виправлена вибіркова дисперсія за (32.12):
.
Задача 5. Обчислити вибіркове середнє та виправлені дисперсії за даними інтервального ряду:
границі інтервалів |
[34;36) |
[36;38) |
[38;40) |
[40;42) |
[42;44) |
[44;46) |
частоти
|
2 |
3 |
30 |
40 |
20 |
5 |
Розв’язання.
Об’єм
вибірки дорівнює
.
Обчислимо вибіркове середнє за (32.4), для
цього в якості
береться середина відповідного інтервалу
.
Для обчислення виправленої вибіркової дисперсії скористаємось формулою (32.12):
.
Задача 6. За заданим двовимірним статистичним розподілом вибірки ознак і
-
2
4
6
8
10
0
10
5
15
30
20
2
8
10
0
20
30
4
6
5
15
30
40
4
6
0
10
20
10
30
20
40
Потрібно:
1) обчислити
,
2) побудувати умовні статистичні розподіли
й обчислити умовні числові характеристики.
Розв’язання.
1)
Щоб обчислити
,
визначимо
.
Оскільки
,
то
,
,
Тому,
Отже,
.
Для визначення обчислюють
.
Тоді за (35.3)
Отже,
а це свідчить про те, що між ознаками
і
існуватиме від’ємний кореляційний
зв’язок.
Для вимірювання тісноти цього зв’язку обчислимо вибірковий коефіцієнт кореляції.
Отже,
тобто тіснота кореляційного зв’язку
між ознаками
та
є слабкою.
Умовний
статистичний розподіл
матиме такий вигляд:
-
2
4
6
8
4
6
5
15
Обчислюються умовні числові характеристики для цього розподілу: умовна середня величина
Умовна дисперсія та середнє квадратичне відхилення
;
;
.
Отже,
.
Умовний статистичний розподіл матиме такий вигляд:
-
10
20
30
40
10
8
6
6
Далі обчислюються умовні числові характеристики:
умовна середня величина
Отже,
