§35. Двовимірний статистичний розподіл і його характеристики

Нехай генеральна сукупність характеризується двовимірною ознакою . Для кожної ознаки і здійснені вибірки об’ємами , які реалізовані переліком варіант: , . Через позначимо частоти спільної появи варіант .

Перелік варіант та відповідних частот спільної їх появи називається двовимірним статистичним розподілом ознаки . Цей розподіл може бути поданий у вигляді таблиці:

Введемо позначення: – частота появи варіанти , – частота появи варіанти . Очевидно мають місце наступні співвідношення:

, , . (35.1)

Перейдемо до визначення основних вибіркових характеристик двовимірної ознаки :

1. Загальні середні величини і :

(35.2)

2. Загальні вибіркові дисперсії ознак і :

, .

Перетворимо вираз для однієї з загальних дисперсій:

.

Згідно (35.1) і (35.2) маємо

.

Отримані в результаті зроблених перетворень формули

,

є більш зручними для обчислення. Величини і є загальними середніми квадратичними відхиленнями відповідно ознак і .

3. Кореляційний момент і вибірковий коефіцієнт кореляції.

Однією з задач статистики є встановлення за даними спостережень наявності зв’язку між ознаками і генеральної сукупності. Для цього за даними двовимірного статистичного розподілу обчислюється емпіричний кореляційний момент за формулою

. (35.3)

Якщо , то кореляційного зв’язку між ознаками і не існує і вони є незалежними. Коли , то такий зв'язок існує. Але кореляційний момент (35.3) тільки відповідає на запитання чи є зв'язок між ознаками і , чи його немає. Для числового визначення ступеня цього зв’язку використовують вибірковий коефіцієнт кореляції

.

Вибірковий коефіцієнт кореляції є вибірковою оцінкою коефіцієнта кореляції. Для нього теж виконуються нерівності:

.

За умов, коли встановлено зв'язок між ознаками і , розглядають умовні статистичні розподіли. Умовний статистичний розподіл ознаки за умови, що , записується у вигляді наступної таблиці:

Згідно з (35.1) тут має виконуватись рівність

.

Головними вибірковими характеристиками статистичного умовного розподілу є наступні:

умовна середня величина ознаки :

, (35.4)

умовна вибіркова дисперсія:

.

Величина є вибірковим умовним середнім квадратичним відхиленням.