§32. Вибіркові оцінки невідомих параметрів розподілу

Нехай – деякий невідомий параметр розподілу ознаки (випадкової величини) . Отримана вибірка значень цієї ознаки об’єму Будь-яке наближене значення параметра , отримане за даними вибірки, називається вибірковою оцінкою цього параметра.

Вибіркові оцінки параметра розподілу повинні мати властивості незміщенності, ефективності і спроможності.

Оцінка параметра називається незміщеною, якщо її математичне сподівання дорівнює параметру, що оцінюється

. (32.1)

Незміщену оцінку параметра називають ефективною за умови, що її дисперсія мінімальна. Оцінку параметра називають спроможною, коли для неї виконується закон великих чисел. Це означає, що при досить великому для будь-якого додатного числа існує мале додатне , таке, що виконується нерівність

. (32.3)

Головними параметрами розподілу є математичне сподівання і дисперсія або середнє квадратичне відхилення.

Найбільш поширеною вибірковою оцінкою математичного сподівання є вибіркове середнє, яке визначається формулою

. (32.4)

Якщо за даними вибірки побудовано варіаційний ряд, то формула (32.4) переписується у вигляді

. (32.5)

Теорема (про незміщеність вибіркового середнього). Вибіркове середнє, обчислене за вибіркою незалежних спостережень випадкової величини , є незміщеною оцінкою .

Дійсно, оскільки кожний елемент вибірки є випадковою величиною з таким же законом розподілу, як і , то , тоді з (32.1), знаходимо

.

Теорема (про дисперсію вибіркового середнього). Нехай – незалежні спостереження випадкової величини . Тоді

. (32.6)

Дійсно, оскільки – незалежні і , , то дисперсія вибіркового середнього

.

(32.7)

Формула (32.6) встановлює той факт, що дисперсія вибіркового середнього в разів менша, ніж дисперсія самої випадкової величини і прямує до 0 при збільшенні об’єму вибірки. Тому вибіркове середнє є близьким до ефективної оцінки математичної статистики.

Теорема (про спроможність вибіркового середнього). Нехай – незалежні спостереження випадкової величини . Тоді , .

Припустимо, що – довільне додатне число. Згідно з нерівністю Чебишева

. (32.8)

Згідно з (32.6)

. (32.9)

Нерівність (32.9) означає, що для будь-якого малого , існує мале додатне

,

таке, що виконується нерівність (32.3). Таким чином, спроможність випадкового середнього доведена.

Однією з вибіркових оцінок дисперсії є вибіркова дисперсія. Вибірковою дисперсією називається величина:

. (32.10)

Покажемо, що вибіркова дисперсія не може бути незміщеною оцінкою генеральної дисперсії . Для цього спочатку скористаємося співвідношенням:

.

Тоді

.

Розглянемо суму

.

Тому

.

Знаходимо математичне сподівання:

.

Мають місце співвідношення:

;

.

Остаточно отримаємо:

. (32.11)

Таким чином, і ця оцінка дисперсії не є незміщеною.

Незміщеною вибірковою оцінкою дисперсії є так звана виправлена вибіркова дисперсія:

. (32.12)

Теорема. Виправлена вибіркова дисперсія (32.12) є незміщеною оцінкою генеральної дисперсії.

Дійсно, з (32.12) і (32.11) випливає що

.

Множник називається поправкою Бесселя. При малих значеннях він досить значно відрізняється від одиниці. При досить великих обидві вибіркові оцінки дисперсії практично збігаються.

Можна довести, що обидві оцінки дисперсії і є спроможними.