1.1.7. Действия с векторами, заданными своими координатами
Рассмотрим действия с векторами, которые заданы своими координатами:
Равенство векторов. Два вектора
и
равны тогда и только тогда, когда равны
их соответствующие координаты:
.При сложении векторов их одноименные координаты складываются, т.е.
,
или
в координатной форме:
.
При умножении вектора на число необходимо умножить на это число все его координаты:
,
или
.
Рассмотрим скалярное произведение векторов, заданных своими координатами.
Пусть
,
найдём их скалярное произведение
.
Согласно свойствам скалярного произведения, имеем
Так
как
— три взаимно перпендикулярных вектора,
то
и, следовательно,
, (1.3)
т.е. скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.
1.1.8. Простейшие задачи аналитической геометрии
1) Длина вектора. По свойству 4) скалярного произведения:
. (1.4)
2)
Р
асстояние
между двумя точками в пространстве.
Рассмотрим
следующую задачу. Даны две точки M
и M
(рис. 1.7). Найти расстояние между ними.
z
О y
x
Рис. 1.7
Заметим,
что вектор
есть разность векторов
и
.
Таким
образом,
.
Следовательно,
.
Применяя формулу (1.4), получим
.
Для
плоскости эта формула имеет вид:
.
Пример
1.1.
Определить расстояние между точками
и
.
Решение. Воспользовавшись формулой (1.2), получим
3) Угол между двумя векторами. Рассмотрим задачу об определении угла между двумя векторами. Согласно определению скалярного произведения векторов, имеем: ∙ = | || | cos, где — угол между векторами и . Из этой формулы находим
.
(1.5)
Выражая числитель и знаменатель в координатной форме, получим формулу для вычисления угла между двумя данными векторами
.
(1.6)
4)
Направление
вектора.
Пусть
,
и
— углы, образованные вектором
с осями координат OX,
OY
и OZ
соответственно.
Имеем
.
Отсюда
.
Аналогично получим
;
.
Величины cos,
cos,
cos
называются направляющими
косинусами
вектора
.
Имеет место очевидное равенство:
.
5)
Деление
отрезка в заданном отношении.
Пусть даны точки A(
и B(
.
Будем говорить, что точка M(x,y,z)
делит отрезок
в заданном отношении ,
если
.
B М
M
В
A
А
O О
Требуется найти координаты точки M, делящей отрезок в отношении .
По условию имеем
.
Замечая, что
,
,
,
перепишем это равенство в координатах:
,
,
.
Преобразовывая, получим координаты точки М:
.
Замечание
1. Если
,
то М
— середина отрезка АВ
и тогда ее координаты:
.
З
амечание
2. На
плоскости координаты точки М,
делящей отрезок
в отношении ,
имеют вид:
,
а координаты середины отрезка:
.
Пример
1.2. Даны
три вершины
параллелограмма
.
Найти его четвертую вершину D
(рис. 1.8).
Решение.
Ответ: D(-3:5).