Раздел I. Аналитическая геометрия

§1.1. Основные понятия аналитической геометрии

1.1.1. Числовая ось

Определение 1.1. Числовой осью называется прямая, служащая для изображения действительных чисел, на которой заданы:

1. положительное направление (от О к А);

2. точка О — начало отсчета;

3. единичный отрезок (масштаб) ОА.

Числовая ось обозначается Ох (Оy, Oz,…).

Всякое действительное число х изображается точкой числовой оси и называется координатой этой точки. Если число х положительно, то оно изображается точкой, которая находится на оси в положительном направлении на расстоянии х от точки О. Если число х отрицательное, то оно изображается точкой, которая находится на оси в противоположном направлении на расстоянии х от точки О. Точка А, имеющая координату , обозначается А( ).

Длиной отрезка АВ или расстоянием между точками числовой оси А( ) и В( ) называется число, равное  — абсолютной величине разности чисел и Величиной отрезка АВ некоторой оси называется число .

Рис. 1.1

1.1.2. Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве , координаты точки

Определение 1.2. Совокупность двух взаимно перпендикулярных числовых осей с общей начальной точкой О — началом координат, называют прямоугольной системой координат (прямоугольной декартовой системой координат) на плоскости и обозначают Оху. Горизонтальную ось называют осью абсцисс или осью Ох. Вертикальную ось называют осью ординат или осью Оy. Плоскость, в которой задана система координат, называют координатной плоскостью. Каждой точке М на плоскости ставится в соответствие упорядоченная пара чисел (х; у), которая называется координатами точки. Точка М, имеющая координаты х₁ и у₁ обозначается М (х₁; у₁).

Рис. 1.2

Определение 1.3. Совокупность трех взаимно перпендикулярных числовых осей с общей начальной точкой О называют прямоугольной системой координат (прямоугольной декартовой системой координат) в пространстве. В этом случае третья ось называется осью аппликат или осью Оz и тогда любая точка в пространстве определяется тремя координатами М(x₁,y₁,z₁).

z

z₁

М(x₁,y₁,z₁)

О y

y₁

x₁

x

Рис. 1.3

1.1.3. Элементы векторной алгебры

Определение 1.4. Вектором называется направленный отрезок.

Вектор с началом в точке O и концом в точке M обозначим символом или .

A

O

Длину вектора обозначим | | или | |. Вектор, у которого начало совпадает с концом, называется нулевым вектором.

Определение 1.5. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы, имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными.

Определение 1.6. Два вектора считаются равными, если выполнены условия:

а) длины векторов равны;

б) векторы сонаправлены.

Следует различать начало и конец вектора. Поменяв их местами, мы получим уже другой вектор, направленный противоположно исходному.

А А

О О

Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получаем вектор, равный исходному. Поэтому вектор можно переносить в любую точку плоскости или пространства.

Действия с векторами:

1. Сумма векторов.

Определение 1.7. Пусть даны два вектора и . Суммой векторов и называют вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора , при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора . Сумму векторов обозначают .

А

О В

Правило сложения векторов, которое содержится в этом определении, называется правилом треугольника.

Это правило можно распространить на любое конечное число векторов. Для того чтобы построить сумму любого числа векторов, нужно в конце первого слагаемого вектора построить второй, в конце второго третий и т.д., сохраняя их длины и направление в пространстве или на плоскости. Вектор, замыкающий полученную ломаную линию, представляет собой искомую сумму. Начало его совпадает с началом первого вектора, конец — с концом последнего вектора (правило многоугольника).

Пусть, например, даны векторы , , расположенные указанным ниже образом. Тогда по правилу многоугольника имеем

А D

О

Е

B C

Правило сложения векторов может быть сформулировано ещё и следующим образом. Пусть имеем два вектора и , выходящих из одной точки О. Отложим от точки А вектор , равный вектору , а от точки В — вектор , равный вектору . Получим параллелограмм, построенный на векторах и , как на сторонах. Очевидно, что суммой этих векторов будет вектор , который является диагональю этого параллелограмма. Такое правило сложения двух векторов называется правилом параллелограмма.

A C

O B

Если два вектора и после приведения их к общему началу лежат на одной прямой и одинаково направлены, то их сумма по определению есть вектор, длина которого равна сумме длин слагаемых векторов и направление совпадает с направлением этих векторов. Если слагаемые векторы направлены в противоположные стороны, то сумма их есть вектор , длина которого равна разности длин слагаемых векторов, а направление совпадает с направлением вектора, имеющего большую длину.

Операция сложения векторов имеет следующие свойства:

1) + = + (коммутативность)

2) ( + )+ = +( + ) (ассоциативность)

2. Разность векторов.

Определение 1.8. Разностью двух векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором равен вектору .

Обозначается таким образом: = - , если + = .

Вычитание векторов производится по следующему правилу: чтобы вычесть из одного вектора другой, нужно отнести их к общему началу и построить вектор из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора.

В

А = - , =

С

Определение 1.9. Два вектора и называются противоположными, если .

Из определения вытекает, что противоположные векторы имеют равные длины, но противоположные направления.

B O

Вектор, противоположный вектору , будем обозначать .

Тогда правило вычитания векторов можно сформулировать следующим образом: чтобы из вектора вычесть вектор , нужно к прибавить вектор . Таким образом, - = +( ).

3. Умножение вектора на число.

Определение 1.10. Произведением ненулевого вектора на вещественное число называется вектор, длина которого равна , направление совпадает с направлением вектора , если >0 и меняется на противоположное, если <0. Произведение любого вектора на число 0 есть . Произведение нулевого вектора на любое число есть .

Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:

1) ( + )= + (дистрибутивность относительно сложения векторов).

2) (дистрибутивность относительно сложения чисел).

3) (ассоциативность).