Замена переменной в неопределенном интеграле

1.2.2 Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки).

Пусть требуется найти интеграл   , где функция   непрерывна на некотором интервале   . Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив   , где   - функция непрерывно дифференцируемая на некотором интервале T и имеющая обратную функцию

 (1)

определенную на   . Так как  , получим

 (2)

то есть, вычисление исходного интеграла   сводится к вычислению

интеграла   , стоящего в правой части равенства (2.). По окончании вычислений необходимо вернуться к переменной   , пользуясь равенством (1).

Замечание 1.

Часто целесообразно подобрать замену переменной не в виде   , а в виде   .

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Найти интеграл   .

Решение. Положим

 ,

тогда   . Следовательно,

На последнем шаге использовано равенство   , которое, очевидно, следует из равенства   . Ответ: 

Пример 2. Найти интеграл   .

Решение. Положим

 ,

тогда   . Следовательно,   Перейдем в данном интеграле к переменной   :

Ответ:

Замечание 2.

Обратите внимание, что в примере 1 замена переменной выбрана в виде   , а в примере 2. замена переменной выбрана в виде   .

Отметим, что не существует одного общего правила для выбора подстановки, позволяющей вычислять интегралы. Существуют частные правила для некоторых типов интегралов. Дадим некоторые рекомендации.

А) Если подынтегральная функция иррациональная, то подстановка выбирается так, чтобы замена переменной под знаком интеграла приводила к рациональной функции от новой переменной (см.примеры 1, 3, 4.

Б) Если подынтегральная функция есть дробно-рациональная функция от трансцендентной (например, от функции   ), то выбирают замену, приводящую к алгебраической рациональной функции (см. .пример 2).

Замечание 3.

Иногда при вычислении интеграла методом замены переменной выбор подстановки можно осуществить различными способами. При этом могут получаться ответы, отличающиеся друг от друга формально (т.е., по виду). В частности, отличающиеся видом константы.

Рассмотрим такую ситуацию на примере 2.

В интеграле   сделаем замену переменной, полагая   (в отличие от замены   ). Тогда   , значит   , следовательно,   . Переходим в данном интеграле к переменной t:

Таким образом, 

Если сравним полученные результаты, то увидим, что слагаемые, зависящие от x совпадают, а произвольная константа в первом случае обозначенная через C, во втором случае имеет вид С+2 . Из определения неопределенного интеграла следует, что эти ответы идентичны.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

 Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.).

     Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция f(x), заданная на промежутке [a, b], равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек z₁, z₂, ..., z_N. Составим для f(x) интегральную сумму σ.

     Пусть из точек ξ₀, ξ₁, ..., ξ_n-1, входящих в определение σ, p точек совпадают с точками z_i, а остальные отличны от них. Тогда в сумме σ будет лишь p слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел | f(z_i) | (i = 1, 2, ..., N) есть K, то, очевидно,

| σ | ≤ Kpλ ≤ KNλ,

откуда ясно, что при λ → 0 будет и σ → 0. Таким образом, интеграл

существует и равен нулю.

     Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ(x) задана на промежутке [0, 1] так:

Если мы, составляя сумму σ, за точки ξ_k выберем числа иррациональные, то окажется σ = 0. Если же все ξ_k взять рациональными, то получится σ = 1. Таким образом, за счет одного лишь уменьшения λ нельзя приблизить σ к какому-либо постоянному числу, и интеграл

не существует.

     В настоящее время известны точные признаки, позволяющие судить, имеет или нет заданная функция определенный интеграл, но мы ограничимся вышеприведенной теоремой об интегрируемости непрерывных функций.

Замена переменной в определенном интеграле

При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения. ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t [α,β]. Тогда справедливо следующее равенство: Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле. Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).

Числовой ряд

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов

• вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;

• комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.