Задачи к § 3, § 4, § 5.
1. Пусть в пространстве
задано отображение:
.
А) доказать, что оно линейно.
Б) найти его матрицу в базисе:
.
2. Определить, какие из ниже перечисленных отображений являются линейными и найти ядра этих отображений.
А)
Б)
В)
Г)
3. Даны 3 линейных отображения, переводящие заданные 3 вектора в заданные:
и
Найти композицию
L=L2◦L1
этих
отображений и матрицу этой композиции
в базисе
.
4. Линейное отображение L имеет в базисе матрицу:
Найти матрицу этого преобразования в базисах:
А)
Б)
5. Линейное преобразование L в базисе имеет матрицу:
Найти его матрицу
в базисе
.
6. Существует ли линейное преобразование L , переводящее:
И если существует, то найти. Каким может быть его ранг.
7. Найти ранг
линейного отображения L
,
заданного формулой:
8. Найти ранг
линейного отображения L
,
заданного формулой:
L
9. Существует ли
линейное отображение со свойством:
где
,
,
,
,
;
,
;
,
,
.
10. Существует ли линейное отображение со свойством:
где
,
,
,
,
,
;
,
,
,
,
;
;
и если существует, то найти его ранг.
11. Найти двойственное отображение L* к линейному отображению:
L
12. Найти двойственное отображение к линейному отображению из задачи №8, и вычислить его ранг.
13. Найти двойственное
отображение к линейному отображению
L
и
вычислить его ранг.
§ 6. Евклидовы пространства.
Определение 19. Линейное пространство V называется евклидовым, если для любых его двух элементов х и у определено число, обозначаемое (х,у), и это соответствие удовлетворяет следующим соотношениям:
1.
2. Для любых чисел α, β и любых элементов x, y, z из V
3.
,
причем
Число, о котором говорится в определении, называется скалярным произведением элементов х и у.
Из этих свойств сразу же вытекает теорема.
Теорема 8 (Неравенство Коши-Буняковского). Для любых элементов х, у из V имеет место неравенство:
,
причем неравенство достигается, только
если существует такое число α, что
.
Доказательство. Для любых х, у из V и произвольного t , рассмотрим квадратный трехчлен:
.
Согласно свойству
3, этот квадратный трехчлен принимает
значения ≥0, причем равенство 0будет
возникать только в случае
.
Но, как следует из элементарной алгебры,
такое возможно, только если:
А) дискриминант квадратного трехчлена <0 (в случае, когда трехчлен принимает только положительные значения).
Б) дискриминант квадратного трехчлена равен 0 в случае, когда квадратный трехчлен принимает положительные значения и 0.
Это означает, что
в случае (а)
,
а в случае (б)
,
причем только если для некоторого
.
Что и доказывает теорему.
Определение 20.
Два элемента х,
у из
V
называются ортогональными,
если
.
Определение 21.
Базис
пространства V
называется ортонормированным,
если ei
и ej
для всех пар
ортогональны и
для всех
.
Теорема 9 (теорема Грамма-Шмидта). В пространстве существует ортонормированный базис.
Доказательство.
Доказательство проведем методом
ортогонализации Штурма. Пусть дан
произвольный базис
пространства V.
Полагаем
.
Легко видеть, что
пространства V
и
.Предположим, что
уже построены. Причем
образуют базис пространства V
и для любых
.
Тогда полагаем
.
Имеем: а)
,
так как иначе
,
что противоречит тому, что
- базис.
б) для всех
ортогонально
.
Действительно,
.
Полагая
получим:
базис. Действительно, если
,
и так как
- базис, то
Но тогда
,
и так как
линейно независимы, то
.
Далее
попарно ортогональны и для любого i
.
Повторяем процедуру, описанную в пункте (2) до тех пор, пока k не станет равным n. Тогда элементы
будут образовывать ортонормированный
базис. Теорема доказана.
Поставим теперь
вопрос: как задавать скалярное произведение
в пространстве V?
Для этого рассмотрим базис
пространства V.
Легко видеть, что для элементов
и
имеем:
,
где
.
Легко видеть, что
матрица
полностью описывает скалярное произведение
в пространстве V
с фиксированным базисом
.
Мы будем ее называть матрицей скалярного
произведения. Отметим, что Q
– симметричная матрица.
Посмотрим, как
сказывается на матрице Q
изменение базиса. Пусть
- другой базис пространства V
и пусть
- матрица перехода.
Тогда:
,
Где
.
Отсюда следует формула, связывающая
матрицы скалярного произведения в
различных базисах:
.
Можно показать
(мы это сделаем в дополнении к § 6), что
всегда можно подобрать такую матрицу
Т, что
(то есть Q
и Q’
подобны), а Q’
– диагональная матрица. Если на матрицу
Т не накладывать никаких условий, то,
взяв в качестве Т матрицу перехода к
ортонормированному базису, мы получим:
.
В частности отсюда следует, что любая матрица скалярного произведения может быть представлена в виде произведения некоторой матрицы на транспонированную.
Условие (3) в
определении скалярного произведения
накладывает на матрицу Q
следующее условие: для любых чисел
не всех равных 0, произведение:
.
Симметричные матрицы, удовлетворяющие этому условию, называются положительно определенными. Существует следующий критерий Сильвестра положительной определенности: если , то Q положительно определена тогда и только тогда, когда выполняются неравенства:
