§ 2. Линейные подпространства.
Определение 6. Подмножество U линейного пространства V, удовлетворяющее всем десяти равенствам, определяющим линейное пространство, называется линейным подпространством пространства V.
Предложение
(Критерий подпространства). Пусть U
– подмножество линейного пространства
V.
Для того, чтобы U
было подпространством, необходимо и
достаточно, чтобы для любых
и любых чисел α, β:
Доказательство легко проводится проверкой 10 условий и оставляется в качестве упражнения.
Лемма 3. Пусть V1 и V2 – два подпространства линейного пространства V. Тогда V1∩V2 – линейное подпространство.
Доказательство.
Пусть
V1∩V2
и α, β – произвольные числа. Тогда
согласно предложению
V1∩V2
и по предложению V1∩V2
является
линейным подпространством.
Определение 7. Пусть V1 и V2 – два линейных подпространства пространства V. Суммой этих подпространств V1+V2 называется множество, элементы которого являются суммой элементов из V1 и V2.
Лемма 4. V1+V2 является линейным пространством.
Доказательство.
Пусть
V1+V2
и α, β – произвольные числа. Тогда
;
,
где
V1
и
V2.
Мы имеем:
Так как
V1;
V2,
то
V1∩V2.
И по
предложению V1+V2
является линейным подпространством.
Теорема 2. Пусть V1, V2 – линейные подпространства линейного пространства V. Тогда:
.
Доказательство.
Пусть dimV1=k,
dimV2=l,
dim(V1+V2)=S.
а1,
…, аk
- базис
подпространства V1;
b1,
…, bl
- базис
подпространства V2.
Выберем базис подпространства V1+V2
следующим образом: добавим к а1,
…, аk
вектора b1,
…, bl
и отбросим те bi,
для которых эта система линейно зависима.
Изменяя нумерацию векторов, можно
считать, что базис пространства V1+V2
имеет вид: а1,
…, аk,
b1,
…, bS-k..
Пусть
(т. е.
).
Так как bS-k+1,
…, bl
V1+V2,
то имеют место следующие разложения:
Обозначим:
1)
Легко видеть, что
V1,
…, Vd
V1.
Так как для
.
2)
V2
То, следовательно,
V1,
…, Vd
V1∩V2.
Предположим,
что V1,
…, Vd
линейно
зависимы. Тогда существуют числа
,
не все равные 0 и такие, что
.
Подставляя вместо
Vi
их выражения из (2), получим:
.
Так как
линейно независимы, то:
.
Противоречие с
тем, что не все
равны 0. Следовательно, V1,
…, Vd
линейно
независимы. Пусть теперь
V1∩V2.
Тогда
.
Рассмотрим вектор
.
Легко видеть, что
.
Поэтому:
.
Но
линейно независимы. И, следовательно,
.
Отсюда вытекает,
что
.
И мы получаем:
.
Итак, мы доказали, что V1, …, Vd V1∩V2 линейно независимы, и любой вектор из V1∩V2 представляется в виде линейной комбинации векторов V1, …, Vd. Поэтому V1, …, Vd - базис линейного пространства V1∩V2. И получаем:
или
.
Замечание. Из доказательства видна процедура нахождения базиса пересечения двух подпространств.
Пример. (см. рис. 1)
Следовательно,
V1∩V2
.
Задачи к §1 и §2.
Является ли линейным пространством множество всех векторов плоскости, лежащих на прямой ОХ (ОУ)?
Является ли линейным пространством множество всех векторов, лежащих на прямых ОХ и ОУ?
Является ли линейным пространством множество всех векторов, координаты которых целые числа?
является ли линейным пространством множество всех векторов 3-хмерного пространства, лежащих на прямой
?Является ли линейным пространством множество векторов, координаты которых удовлетворяют условию
(
)?Является ли линейным пространством множество многочленов степени
,
многочленов степени п
со свободными членами, равными целым
числам?Является ли базисом пространства
множество векторов
,
,
?Является ли базисом множество векторов , ,
?Является ли базисом пространства
множество векторов
,
,
,
.Является ли базисом пространства множество векторов
,
,
,
.Является ли базисом пространства множество векторов
,
,
,
.Является ли базисом пространства множество векторов
,
,
,
.Выделить линейно независимые вектора из данных:
,
,
,
.Выделить линейно независимые вектора из данных: ,
,
.Выделить линейно независимые вектора из данных:
,
,
,
.Найти базис в линейном пространстве матриц размера 4х4.
Найти базисы суммы и пересечения линейных пространств:
Найти базисы суммы и пересечения линейных пространств:
Найти базисы суммы и пересечения линейных пространств:
Найти базис суммы и базис пересечения подпространств
Найти базис суммы и базис пересечения подпространств
