38

Кубенский М. Н.

Линейная алгебра

(основной курс)

Введение.

В этом пособии изложена основная часть курса линейной алгебры, читаемого в технических вузах. При этом автор старался сделать объем материала минимальным при соблюдении должной глубины подачи материала. Это не касается § 6 и § 7, где мы только касаемся изложенных тем, так как их полное изложение потребовало бы значительно большего объема. Поэтому за всеми подробностями и незатронутыми вопросами мы отсылаем читателя к литературе 2 и 4.

Весь изложенный материал можно разбить на 3 темы: §§ 1, 2 – линейные пространства; §§ 3, 4, 5 – линейные отображения; §§ 6, 7 – евклидовы пространства. После изложения каждой темы предлагается набор упражнений по данной теме. Число упражнений, приведенных в пособии, можно использовать только для знакомства с предметом. Если читатель захочет более основательно освоить предмет, то ему можно порекомендовать задачник 6.

Приношу благодарность за помощь в работе Беляковой Л.В. и Лебедевой Александре.

§ 1. Линейные пространства.

Определение 1. Множество V называется линейным (векторным) пространством, если для любых элементов из V определена их сумма и определено умножение любого элемента из V на любое число, и эти операции удовлетворяют следующим равенствам:

1. Для любых х, у из V:

2. Для любых x, y,z из V:

3. Существует такой элемент О_V из V, что для любого х из V:

4. Для любого х из V существует такой элемент –х из V, что:

5. Для любого элемента х из V и любого числа α:

6. Для любого элемента х и любых чисел α, β:

7. Для любых элементов х, у из V и любого числа α:

8. Для любого элемента х из V и любых чисел α, β:

9. 

10. 

Примеры.

1. Множество многочленов степени ≤n c обычным сложением и умножением на число.

2. Множество матриц размером mхn: M_m,n (см. начальный курс, § 1).

3. K_n – множество квадратных матриц порядка с нулевой диагональю.

4. Множество строк (матриц размера 1хn):

5. Множество столбцов (матриц размера nx1):

Замечание. Во всех 5 примерах нужные 10 равенств легко проверяются, и мы оставляем их проверку в качестве упражнения.

Элементы векторного пространства мы также будем называть векторами.

Определение 2. Пусть даны вектора V₁, …, V_n и числа α₁, …, α_n. Выражение вида: мы будем называть линейной комбинацией векторов (или просто линейной комбинацией). Числа α₁, …, α_n мы будем называть коэффициентами линейной комбинации.

Заметим, что линейная комбинация равняется некоторому элементу рассматриваемого пространства.

Определение 3. Пусть в линейном пространстве дано множество векторов Х. Мы говорим, что это множество линейно независимо, если из того, что линейная комбинация векторов V₁, …, V_n из этого множества равна нулевому вектору: следует, что коэффициенты в этой линейной комбинации равны 0, т.е. .

Если множество векторов Х из линейного пространства V не является линейно независимым, то мы его называем линейно зависимым.

Легко видеть, что множество векторов Х линейно зависимо тогда и только тогда. Когда найдутся такие вектора V₁, …, V_n из Х и такие числа α₁, …, α_n не все равные нулю, что .

Определение 4. Множество векторов Х из V называется максимальным линейно независимым в V, если оно линейно независимо и добавление к нему любого вектора из V делает его линейно зависимым.

Определение 5. Базисом линейного пространства V называется максимальное линейно независимое множество векторов пространства V.

Теорема 1. Число элементов в базисе не зависит от выбора базиса.

Замечание. Число векторов в базисе называется размерностью пространства V и обозначается dimV. Если dimV конечное число, то пространство называется конечномерным. В противном случае оно называется бесконечномерным.

Доказательство теоремы 1. Докажем предварительно две леммы.

Лемма 1. (Лемма о линейных комбинациях)

Пусть даны линейно независимые вектора е₁, …, е_n и их линейные комбинации:

Тогда если m˃n, то вектора V₁, …, V_m линейно зависимы.

Доказательство. Доказываем индукцией по n.

а) n=1

Если для всех i: (i=1, …, m), то и . Пусть теперь не все α_i1. Можно предположить (не теряя общности), что . Тогда и мы имеем: . Следовательно, V₁, …, V_m линейно зависимы.

б) Пусть теперь утверждение леммы верно для и докажем его для . Имеем:

, m˃k+1.

Если , то V₁, …, V_m – линейные комбинации векторов е₁, …, е_k. И по определению индукции V₁, …, V_m линейно зависимы. Пусть теперь не все α_1,k+1, …, α_m,k+1 равны 0. Изменяя нумерацию, можно добиться того, что α_m,k+1≠0. Рассмотрим новые вектора:

И так как m˃k+1, то m-1˃k. По индукционному предположению вектора V’₁, …, V’_m-1 линейно зависимы. То есть существуют с₁, …, с_m-1 не все равные 0, такие, что: .

Заменяя V_i’ на получим:

, а так как не все из с₁, …, с_m-1 равны 0, то вектора V₁, …, V_m линейно зависимы. Что и доказывает лемму.

Лемма 2. (Разложение по базису). Пусть е₁, …, е_n – базис пространства V. Тогда любой вектор V из V представляется в виде линейной комбинации векторов е₁, …, е_n и притом единственным образом.

Доказательство. Пусть е₁, …, е_n - базис в V и V – произвольный вектор из V.тогда вектора е₁, …, е_n, V линейно зависимы и, следовательно, существуют числа α₁, …, α_n, α_n+1 не все равные 0 такие, что:

.

Если бы , то вектора е₁, …, е_n были бы линейно зависимы, что противоречит тому. Что е₁, …, е_n – базис. Следовательно, α_n+1≠0. Но тогда .

И полагая получим:

*

Докажем теперь единственность. Пусть:

Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим:

Так как е₁, …, е_n линейно независимы, то:

или x₁=y₁, …, x_n=y_n.

Что и доказывает лемму.

Замечание. Полученное нами представление * называется разложением вектора V по базису е₁, …, е_n, а числа х₁, …, х_n называются координатами вектора.

Вернемся к доказательству теоремы. Пусть в V есть два базиса - е₁, …, е_n и η₁, …, η_m. Предположим, что m˃n. По лемме 2:

Так как m˃n, то по лемме 1 η₁, …, η_m линейно зависимы. Противоречие с тем, что это базис. Аналогично не может быть n˃m. Следовательно, m=n и теорема доказана.