3.3. Аксиомы и законы алгебры логики

Под логической аксиомой понимается формула логико-математического языка, принимаемая в качестве аксиомы при построении формальной теории, истинная в любой структуре для данного языка в силу смысла логических символов. Логические аксиомы выбираются таким образом, чтобы множество логических следствий из аксиом в точности совпадало с множеством теорем.

Алгебра логики строится на основе следующих аксиом:

1) Переменная может принимать лишь одно из двух возможных значений:

, если ; , если .

2) Вводится преобразование, называемое инверсией, такое, что

; ; ; .

3) Вводится преобразование, называемое дизъюнкцией, для которого справедливы соотношения:

; ; ; .

4) Вводится преобразование, называемое конъюнкцией, для которого справедливы соотношения:

; ;  ;  .

5) Соотношения для штриха Шеффера:

; ; ; ; .

6) Соотношения для стрелки Пирса:

; ; ; ; .

Соотношения 1-6 проверяются подстановкой логических значений “0” и “1”.

На основе рассмотренных выше аксиом, выводятся теоремы, содержащие основные законы АЛ:

1) Коммутативный (переместительный) закон:

; .

2) Ассоциативный (сочетательный) закон:

; .

3) Дистрибутивный (распределительный) закон:

; .

4) Законы поглощения:

; .

5) Закон склеивания:

;

6) Законы инверсии (теоремы де Моргана):

; .

Справедливость любого закона АЛ можно доказать разными методами. Проще всего это можно сделать прямой подстановки вместо переменной значений 0 и 1. Ряд законов доказывается методом перебора всех возможных значений переменных, для которых проверяется справедливость закона. Для доказательства закона достаточно показать тождественность выражений, образующих левую и правую стороны доказываемого соотношения при всех наборах переменных, принимающих значения 0 или 1.

3.4. Аналитическое представление булевых функций

В данном подразделе более подробно рассматривается аналитическое представление булевых функций в виде уравнений с использованием операций дизъюнкции (ИЛИ), конъюнкции (И), и отрицания ( ). Данные операции образуют, как было показано выше, булев базис.

1) Аналитический способ. Рассмотрим основные понятия и определения, используемые при аналитическом представлении булевых функций.

Элементарное произведение – произведение (конъюнкция) любого числа букв (переменных) булевой функции, взятых с отрицанием или без. Например, x₁∙x₂∙x₃; ₁∙x₃.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – дизъюнкция элементарных произведений. Термин "нормальная" означает, что в данном выражении отсутствуют групповые инверсии, т.е. инверсия над несколькими переменными сразу. Пример ДНФ:

.   (3.1)

Минтерм – произведение всех переменных, взятых с отрицанием или без, соответствующих двоичным наборам, на которых функция принимает значение 1. Минтерм можно назвать полной элементарной конъюнкцией. Пример: первое произведение  в выражении 3.1.

Ранг выражения – количество переменных, входящих в функцию или минтерм. В выражении 3.1 функция и все минтермы имеют четвёртый ранг.

Совершенной ДНФ (СДНФ) называется ДНФ, содержащая все полные элементарные конъюнкции (конституанты 1) данной булевой функции, в которой нет одинаковых элементарных конъюнкций, и каждая из них содержит все переменные данной булевой функции, причем каждую переменную – только один раз (включая вхождения с отрицанием или без отрицания). Другими словами СДНФ – это дизъюнкция всех минтермов булевой функции. Признаком того, что ДНФ является совершенной, является равенство рангов функции и всех минтермов. Функция 3.1 является СДНФ.

Элементарная сумма – логическая сумма (дизъюнкция) любого числа букв (переменных) булевой функции, взятых с отрицанием или без. Например, (x₁ + x₂ + x₃); ( ).

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – конъюнкция элементарных сумм. Термин "нормальная" означает, что в данном выражении отсутствуют групповые

инверсии, т.е. инверсия над несколькими переменными сразу. Пример КНФ:

.

Макстерм – сумма всех переменных, взятых с отрицанием или без, соответствующих двоичным наборам, на которых функция принимает значение 0. Макстерм можно назвать полной элементарной дизъюнкцией. Пример: .

Совершенной КНФ (СКНФ) называется КНФ, содержащая все полные элементарные дизъюнкции (конституанты 0) данной булевой функции, в которой нет одинаковых элементарных дизъюнкций, и каждая из них содержит все переменные данной булевой функции, причем каждую переменную – только один раз (включая вхождения с отрицанием или без отрицания). Другими словами СКНФ – это конъюнкция всех макстермов булевой функции.

В связи с тем, что одной и той же булевой функции могут соответствовать различные формы аналитической записи, то возникает задача нахождения такой формы записи, при которой каждой функции будет соответствовать одна и только одна формула стандартного типа, и каждой формуле стандартного типа будет соответствовать одна и только одна функция. Такие формы записи булевых функций называются каноническими. СДНФ и СКНФ являются каноническими формами представления булевых функций. Чаще используется ДНФ или СДНФ.

2) Табличный способ. При этом способе функция задается в виде таблицы истинности, представляющей собой совокупность всех наборов переменных и соответствующих им значений функции.

 

Рис. 3.2 Функциональное обозначение цифрового автомата трех переменных

 

Таблица истинности содержит 2m строк, m столбцов (по количеству входов) и один столбец для записи значения функции.

Например: пусть требуется задать функцию трех переменных  (рис. 3.2), т.е. автомат на три входа и на один выход, следовательно, M = 3, N = 8.

Следующий способ задания дискретного автомата – числовой. В Этом случае функция задается в виде десятичных эквивалентов номеров наборов аргументов, при которых функция принимает единичное значение. Например, для рассмотренного выше примера функция F₁ принимает единичные значения на наборах переменных со следующими номерами: 1, 2, 5, тогда числовой способ задания будет иметь вид (табл. 3.4).

 

Таблица 3.4 Таблица состояний цифрового автомата трех переменных

 

Номер
0	0	0	0	0
1	0	0	1	1
2	0	1	0	1
3	0	1	1	0
4	1	0	0	0
5	1	0	1	1
6	1	1	0	0
7	1	1	1	0