13.2. Теорема про прискорення точки при натуральному способі задання руху:

Повне прискорення точки дорівнює векторній сумі її дотичного і нормального прискорень.

Для доведення цієї теореми згадаємо, що при натуральному способі вектор швидкості точки визначається за формулою:

.

Оскільки кожен з співмножників змінюється за часом, то вектор прискорення точки дорівнює:

. (13.5)

Будемо розглядати орт як складну функцію часу:

,

Використовуючи (13.3) і пам’ятаючи, що , отримаємо:

. (13.6)

Підставляючи у (13.5) значення з (13.6) і враховуючи, що квадрат проекції швидкості на дотичну дорівнює квадрату модуля швидкості V, одержимо таку формулу розкладу вектора прискорення точки за натуральними осями:

. (13.7)

Із (13.7) видно, що вектор прискорення складається з двох складових за напрямами і , тобто він лежить у стичній площині.

Проекція на бінормаль дорівнює нулю.

Складова прискорення за напрямом дотичної

(13.8)

називається дотичним (тангенціальним) прискоренням. Воно характеризує зміну модуля швидкості.

Складова прискорення за напрямом головної нормалі

(13.9)

називається нормальним прискоренням. Воно характеризує зміну швидкості за напрямом.

Таким чином, повний вектор прискорення дорівнює:

. (13.10)

Проекції прискорення точки на натуральні осі – дотичну та головну нормаль - визначаються за відповідними формулами:

; (13.11)

. (13.12)

Модуль вектора прискорення точки, враховуючи що , дорівнює:

. (13.13)

Напрям вектора прискорення визначається тангенсом кута , утвореного векторами повного і нормального прискорень (рис. 12.2):

. (13.14)

13.3. Практичні формули для розрахунку складових прискорення точки та радіуса кривизни і її траєкторії

Якщо рух точки у площині Оху задано координатним способом, то доцільно скористатись більш зручними формулами для визначення складових прискорення , та радіусу кривизни .

Оскільки

,

де , то

.

Остаточно:

. (13.15)

Оскільки

,

де , то

=

.

Остаточно:

. (13.16)

Радіус кривизни траєкторії точки , з урахуванням (13.12), визначається за формулою:

. (13.17)

13.4. Окремі випадки руху точки

З’ясуємо характер руху точки в залежності від значень її дотичного і нормального прискорень.

1. Якщо і , то рух точки є криволінійним і нерівномірним. Швидкість точки в цьому випадку змінюється за модулем і за напрямом.

2. Якщо , а , тобто , а , то рух точки прямолінійний і нерівномірний. Зауважимо, що також в ті моменти часу, коли швидкість точки дорівнює нулю, тобто коли змінюється напрям руху.

3. Якщо , , то в цьому випадку точка рухається рівномірно за криволінійною траєкторією.

4. Якщо і , то рух точки рівномірний і прямолінійний.

5. Рух точки, при якому називається рівнозмінним; при – рух точки рівноприскорений, при – рівносповільнений.

Визначимо залежність швидкості точки і пройденого нею шляху від часу у випадку рівнозмінного її руху.

Оскільки

,

то

.

Зважаючи, що при , та інтегруючи останнє рівняння у відповідних границях, одержимо:

.

Оскільки

,

то

.

Вважаючи, що , , та інтегруючи останнє рівняння у відповідних границях, отримаємо:

.