12.4. Прискорення точки при векторному способі задання її руху

В загальному випадку криволінійного руху точки її швидкість змінюється за величиною і напрямом. Ця зміна характеризується прискоренням точки.

Нехай у момент часу точка мала положення і її швидкість дорівнювала , а у момент часу знаходилася у положенні і її швидкість дорівнювала . Приріст вектора швидкості точки за проміжок часу дорівнює (рис. 12.3, а).

Відношення до проміжку часу називають середнім прискоренням точки за цей проміжок часу:

. (12.14)

Прискорення точки у даний момент часу одержимо як границю середнього прискорення, коли проміжок часу наближається до нуля:

.

. (12.15)

Отже, вектор прискорення точки дорівнює першій похідній від вектора швидкості точки або другій похідній від радіуса-вектора точки за часом.

Щоб встановити напрям вектора прискорення точки, введемо поняття годографа швидкості.

Г одографом швидкості називається лінія, яку описує кінець вектора швидкості під час руху точки, якщо початок векторів швидкостей знаходиться у фіксованій точці (рис. 12.3, б).

З рис. 12.3, б бачимо, що швидкість точки N, яка описує годограф швидкості маючи радіус-вектор , дорівнює прискоренню точки М при її русі по траєкторії:

,

тобто .

Отже, вектор прискорення точки М направлений паралельно дотичній до годографа вектора швидкості у відповідній точці в бік угнутості траєкторії точки.

12.5. Прискорення точки при координатному способі задання її руху

Нехай рух точки задано в декартовій системі координат:

; ; .

Визначимо вектор швидкості точки у вигляді :

,

де , , – орти відповідно координатних осей , , .

Тоді, вектор прискорення дорівнює:

. (12.16)

Проектуючи векторну рівність (12 .16) на осі , , і враховуючи формули (12.6), одержимо формули для проекцій вектора прискорення на координатні осі:

; . (12.17)

Отже, проекції вектора прискорення точки на нерухомі координатні осі дорівнюють першим похідним за часом від відповідних проекцій швидкості або другим похідним за часом від відповідних координат точки.

Знаючи проекції прискорення на координатні осі, його модуль і напрям знаходимо за наступними формулами:

, (12.18)

; ; .

Одиниці вимірювання прискорення точки – см/сек² або м/сек².

12.6. Приклад розв’язання задачі

П риклад 1. Знайти рівняння траєкторії і швидкість точки середини шатуна АВ кривошипно-шатунного механізму, а також швидкість повзуна В (рис. 12.4), якщо см, радіан.

Розв'язання. Виберемо осі координат і з початком у точці О. Знайдемо рівняння руху точки шатуна. Для цього проведемо з точок та перпендикуляри і до осі . Координати точки визначаються з і :

;

.

Вилучивши з цих рівнянь руху точки час , і, використовуючи значення тригонометричної одиниці, одержимо рівняння траєкторії точки в координатній формі:

.

Це рівняння еліпса з напівосями 60 см і 20 см і центром в точці О.

Траєкторією точки є вся крива, оскільки та змінюються у відповідних межах.

; .

Проекції швидкості точки на координатні осі дорівнюють:

; .

Модуль швидкості точки М змінюється за такою залежністю:

(см/с).

Визначимо координати точки :

; .

Таким чином ,швидкість точки В змінюється за законом:

(см/с).

Л інійка еліпсографа рухається так, що її кінці і ковзають вздовж двох взаємно перпендикулярних прямих, причому кут та змінюється відповідно до рівняння , де . Знайти прискорення точки лінійки, якщо , (рис. 12.5), врахо–вуючи, що .

Розв'язання. Прий–маючи прямі, по яким рухаються точки і лінійки, за координатні осі і з початком у точці , знаходимо рівняння руху точки:

; .

Вилучивши з цих рівнянь час , використовуючи значення тригонометричної одиниці, отримаємо рівняння траєкторії точки М в координатній формі:

1.

Це рівняння еліпса з напівосями і з центром на початку координат. Для інших точок лінійки траєкторіями будуть еліпси з іншими напівосями. На цьому принципі заснована конструкція еліпсографа – приладу для викреслювання еліпсів.

Користуючись послідовно формулами (12.6) і (12.17), визначаємо проекції швидкості і прискорення точки М на координатні осі:

;

; .

За формулами (12.17) знаходимо модуль і напрям прискорення розглядуваної точки :

;

; .

Отже, модуль вектора прискорення точки змінюється пропорційно відстані точки від початку координат, а спрямований цей вектор вздовж лінії від точки до центру .