Лекція 20 формула прискорення коріоліса та природа його виникнення

20.1. Визначення формули прискорення Коріоліса

Розглянемо тепер вираз прискорення Коріоліса, тобто третю групу доданків (ІІІ) в формулі (19.7) і надамо більш зручну форму запису цього прискорення.

Нехай переносний рух, тобто рух рухомої системи, є обертальним навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю . Вектор можна розглядати як радіус-вектор точки відносно точки (рис. 20.1). Тому швидкість цієї точки дорівнює:

. (20.1)

Але при обертальному русі рухомої системи швидкість точки визначається і за формулою Ейлера ( ), для якої радіусом-вектором є орт , тоді

. (20.2)

Порівнюючи (20.1) і (20.2), знаходимо, що . Аналогічно:

, . (20.3)

Підставимо значення похідних за часом від ортів рухомої системи (20.3) у вираз прискорення Коріоліса, тобто у групу доданків ІІІ із виразу (19.7):

. (20.4)

Як відомо з (20.3), вираз у дужках рівняння (20.12) – це вектор відносної швидкості точки .

Отже, для вектора прискорення Коріоліса остаточно маємо:

. (20.5)

Прискорення Коріоліса дорівнює подвоєному векторному добутку переносної кутової швидкості на відносну швидкість точки.

Напрям вектора прискорення Коріоліса визначається за правилом векторного добутку векторів і , тобто вектор направлений перпендикулярно до площини, в якій розташовані вектори та , у той бік, звідки найкоротший поворот від до видно проти руху годинникової стрілки.

Зауважимо, що якщо вектори та не лежать в одній площині, то треба подумки вектор перенести у рухому точку (рис. 20.1).

В деяких випадках визначення напряму вектора полегшується застосуванням правила М.Є. Жуковського: для визначення напряму необхідно спроектувати вектор на площину, перпендикулярну до , і отриману проекцію повернути на прямий кут у напрямку переносного обертання (рис. 20.1).

Модуль прискорення Коріоліса, відповідно до формули (20.2), дорівнює:

. (20.6)

Зауважимо, що прискорення Коріоліса відсутнє у випадках:

1) якщо =0, тобто рухома система рухається поступально;

2) якщо , тобто вектори і колінеарні ;

З) коли відносна швидкість дорівнює нулю, тобто у цей момент

немає відносного руху.

20.2. Природа виникнення прискорення Коріоліса

Диск обертається навколо центральної осі зі сталою кутовою швидкістю , а точка рівномірно рухається вздовж радіуса з центра до краю диска, . Нехай в момент часу t відстань точки від центра диску (рис. 17.3).

П ереносна швидкість точки в цей момент і перпендикулярна , а відносна швидкість і спрямована по .

За проміжок часу диск, а значить і його радіус, повернеться на кут , а точка переміститься у положення вздовж радіуса. Тоді в момент часу відстань .

Відносна швидкість в цей момент часу дорівнює і направлена по , а переносна за модулем дорівнює та спрямована перпендикулярно у бік обертання.

1) За проміжок часу приріст вектора відносної швидкості буде . Модуль цього приросту з урахуванням того, що за величиною, можна прийняти рівним:

.

Поділивши обидві частини цієї рівності на , бачимо, що зміна відносної швидкості за одиницю часу внаслідок переносного обертання дорівнює:

. (20.7)

Направлений вектор , як і вектор в границі, тобто перпендикулярно ОМ у бік обертання.

2) Приріст модуля переносної швидкості за проміжок часу дорівнює:

.

Поділивши обидві частини цієї рівності на , бачимо, що зміна величини переносної швидкості за одиницю часу внаслідок відносного руху точки дорівнює:

. (20.8)

Вектор направлений перпендикулярно у бік обертання, бо він враховує зміну величини переносної швидкості.

Додаючи і , які обидва направлені перпендикулярно в один бік і однакові за значенням, одержимо величину прискорення Коріоліса, знайденого вище за формулою (20.6), вважаючи, що у нашому прикладі, : .

Отже, фізичних причин виникнення прискорення Коріоліса дві.

Прискорення Коріоліса виникає, з одного боку внаслідок зміни напряму відносної швидкості через переносне обертання, а з другого, внаслідок зміни величини переносної швидкості точки через відносний рух.

Таким чином, Коріолісове прискорення характеризує зміну за часом відносної швидкості через переносний не поступальний рух і переносної швидкості через відносний рух точки.