§5. Базис и размерность векторного пространства. Координаты вектора в базисе.

Определение 1. Если векторное пространство V над полем P имеет такую линейно независимую систему векторов ,…, (1), через которую линейно выражается каждый вектор векторного пространства V, то V называется конечномерным (n-мерным) векторным пространством, а система (1) называется базисом векторного пространства V.

Определение 2. Размерностью конечномерного векторного пространства V над полем P называется число векторов из V, входящих в базис векторного пространства V; и обозначается .

Теорема 1. Пусть ,…, и ,…, - базисы конечномерного векторного пространства V над полем P. Тогда n=s.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 1 §4.

Теорема 2. Пусть ,…, (1) – базис векторного пространства V над полем P (базис системы векторов (2) ). Тогда , такие что (3), причем коэффициенты в (3) определяются однозначно.

Доказательство. Существование представления вида (3) следует из определения базиса векторного пространства (определение 1), и определения базиса системы векторов (определение 1' §4). Допустим, что коэффициенты в (3) определяются неоднозначно и существует представление (4). Из обеих частей равенства (3) вычтем соответствующие части равенства (4): . Теорема доказана.

Равенство (3) называется разложением вектора по базису (1).

Определение 3. Координатами вектора в базисе ,…, (1) называются коэффициенты в разложении вектора по базису (1), т.е. если , то - координаты вектора в базисе (1), и обозначают .

§ 6. Дополнение линейно независимой системы векторов до базиса векторного пространства.

Теорема 1. Пусть V – n-мерное векторное пространство над полем Р, (1) ā₁,…,ā_k – линейно независимая система векторов из V. Тогда система (1) может быть дополнена до базиса векторного пространства V.

Доказательство. Если k=n, то (1) – базис векторного пространства V.

Пусть k<n. Рассмотрим линейную оболочку, натянутую на векторы системы (1): V₁=L(ā₁,…,ā_k)={ ā₁+…+ ā_k| P, i= }. Отметим, что V₁ V. Так как k<n, то V₁ V. Пусть ā_k+1 V\V₁. Покажем, что система ā₁,…,ā_k,ā_k+1 (2) линейно независима. Допустим, что (2) – линейно зависимая система векторов вектор ā_k+1 является линейной комбинацией векторов ā₁,…,ā_k ā_k+1 V₁ – получили противоречие (2) – линейно независимая система векторов. Далее, пусть V₂=L(ā₁,…,ā_k, ā_k+1) и ā_k+2 V\V₂. Тогда, как и выше, система ā₁,…,ā_k, ā_k+1, ā_k+2 линейно независима. Продолжая этот процесс, получим линейно независимую систему, состоящую из n векторов, а это, ввиду dim_pV=n, означает, что полученная система является базисом векторного пространства V. Теорема доказана.

§ 7. Пространство всех решений однородной системы уравнений. Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений.

Теорема 1. Пусть (1) - однородная система линейных уравнений над полем P, U – множество всех решений системы (1), т.е. U= - решение системы (1) . Тогда множество U является подпространством векторного пространства V=Pⁿ.

Доказательство проводится непосредственной проверкой с помощью критерия подпространства.

Определение 1. Пусть (1) - однородная (неопределенная) система линейных уравнений над полем P, U – векторное пространство всех решений системы (1). Базис векторного пространства U называется фундаментальным набором решений однородной системы линейных уравнений (1).

Найдём фундаментальный набор решений системы (1). Пусть x_1,…,x_k – главные неизвестные, остальные – свободные неизвестные.

Составим систему векторов из U по следующему правилу

(*): придадим первой свободной неизвестной значение 1, остальным свободным неизвестным – значение 0, получим вектор ; придадим второй свободной неизвестной значение 1, остальным свободным неизвестным – значение 0, получим вектор , и т.д. Получим систему вида:

(2) .

Покажем, что (2) – базис векторного пространства U.

1. Покажем, что система (2) линейно независима.

Пусть (3) . Покажем, что _i=0, i=1, . Из (3) =>

. Это означает, что система (2) линейно независима.

2) Покажем, что через векторы системы (2) линейно выражается каждый вектор из U. Пусть . Покажем, что вектор линейно выражается через (2). Рассмотрим вектор следующего вида:

Так как (2) U , то . Поскольку и (1) -однородная система линейных уравнений, то => => линейно выражается через (2).

Из 1) и 2) => система (2) - базис U => система (2) – фундаментальный набор решений системы (1).

Вывод: Для того, чтобы найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений, необходимо решить систему методом Гаусса и записать систему по правилу (*).