Глава 4. Векторные пространства.

§1. Понятие векторного пространства. Примеры. Простейшие свойства векторных пространств.

Определение 1. Множество V называется векторным пространством над полем Р, а его элементы называются векторами, если множество V замкнуто относительно операции сложения (т.е. ) и относительно операции умножения на элементы из поля Р (т.е. ), и выполняются следующие аксиомы (аксиомы векторного пространства):

I. <V,+>- абелева группа:

1) ассоциативность сложения: ;

2) ;

3) ;

4) коммутативность сложения: .

II. Во множестве V выполняются обобщенные дистрибутивные законы:

а) ;

б) .

III. Во множестве V выполняется обобщенный ассоциативный закон:

.

IV. Во множестве V выполняется унитарный закон:

где 1 - единичный элемент в Р.

Примеры.

1) Пусть . Тогда V - векторное пространство над любым полем – нульмерное векторное пространство.

2) Если P – поле, то P – векторное пространство над полем Р, т.е. всякое поле является векторным пространством над самим собой. Кроме того, всякое поле является векторным пространством над любым своим подполем.

3) Арифметическое n-мерное векторное пространство. Пусть Р – поле,

. Тогда множество V является векторным пространством над полем Р относительно следующих операций:

; .

Векторное пространство называется арифметическим n-мерным векторным пространством над полем Р.

Простейшие свойства векторных пространств. Пусть V – векторное пространство над полем р.

Свойство 1. .

Доказательство. Так как (по обобщенному дистрибутивному закону) и , то . Тогда по закону сокращения в аддитивной группе V получаем . Свойство доказано.

Свойство 2.

Доказательство. Так как (по обобщенному дистрибутивному закону) и , то . Тогда по закону сокращения в аддитивной группе V получаем Свойство доказано.

Свойство 3. Пусть , . Тогда .

Доказательство. Доказательство проведем методом математической индукции по параметру п.

1. Проверим, что утверждение верно при п=1. Действительно, по определению 1.

2. Предположим, что утверждение верно при п=к, т.е. что .

3) Докажем, что утверждение верно при п=к+1. Действительно,

.

Из 1)-3) по методу математической индукции утверждение верно ℕ. Свойство доказано.

Определение 2. Пусть V - векторное пространство над Р, . Вектор называется линейной комбинацией векторов .

Определение 3. Пусть V - векторное пространство над Р, . Множество L( )= называется линейной оболочкой, натянутой на векторы системы .

Замечание. Линейная оболочка, натянутая на систему векторов, является векторным пространством над рассматриваемым полем.

§2. Подпространство. Критерий подпространства.

Определение 1. Подмножество H векторного пространства V над полем Р называется подпространством векторного пространства V, если H является векторным пространством над полем Р относительно тех же операций, что и векторное пространство V.

Теорема 1 (Критерий подпространства). Пусть H - непустое подмножество векторного пространства V над полем Р. Н является подпространством векторного пространства V тогда и только тогда, когда выполняются два условия:

1) ;

2) .

Доказательство.

1. Необходимость (⇒). Пусть Н – подпространство векторного пространства V над полем Р. Тогда по определению 1 Н – векторное пространство над полем Р. По определению векторного пространства множество Н является замкнутым относительно сложения и относительно умножения векторов из Н на элементы из поля Р, т.е. выполняются условия 1) и 2).

2. Достаточность(⇐). Пусть выполняются условия 1) и 2). Покажем, что Н – подпространство векторного пространства V. В силу определения подпространства, достаточно показать, что Н – векторное пространство над полем Р. Из условий 1) и 2) следует, что множество Н замкнуто относительно сложения и относительно умножения элементов из Н на элементы из поля Р. Проверим для Н выполнимость аксиом векторного пространства. Предварительно отметим что, так как и V – векторное пространство над полем Р, то в Н выполняются обобщенные дистрибутивные законы; обобщенный ассоциативный закон; унитарный закон; ассоциативность и коммутативность сложения.

Покажем, что для Н выполняется аксиома I 2). Так как ∅, то существует . Тогда , т.е. . Это означает, что выполняется аксиома I 2).

Покажем, что для Н выполняется аксиома I 3). Пусть . Тогда по условию 2) . Отсюда, по унитарному закону, следует, что . Следовательно, выполняется аксиома I 3).

Таким образом, Н – векторное пространство над полем Р. По определению подпространства получаем, что Н – подпространство векторного пространства V. Теорема доказана.