2. Здачі на знаходження числа фігур на шахівниці

Задача. 23. Яке максимальне число королів можна розставити на дошці так, щоб вони не погрожували один одному?

Рис. 2.19

Розв'язання: Розіб'ємо дошку на 16 квадратів (рис. 2.19). Якщо ми хочемо, щоб королі не торкалися один одного, то, очевидно, в кожному з цих квадратів потрібно помістити не більше за одне з них. Це означає, що більше шістнадцяти королів, що задовольняють умові завдання, розставити неможливо. Отже, максимальне число мирних королів на дошці 8х8 рівне 16.

Відповідь: 16.

Задача. 24. Яке найменше число королів можна розставити на шахівниці так, щоб вони нападали на усі вільні поля дошки?

Р

Рис. 2.20

озв'язання: В кожному з дев'яти прямокутників, виділених на рис. 2.20, є одне поле (на нім стоїть король), яке може бути атаковане тільки королем, що знаходиться в цьому ж прямокутнику. Отже, для того, щоб усі вільні поля дошки були під загрозою, в кожному з наших дев'яти прямокутників повинен стояти хоч би один король. Число дев'ять і є рішенням задачі для звичайної дошки.

Відповідь: 9.

Задача. 25. Скількома способами можна розташувати на шаховій дошці 8 тур так, щоб вони не били одна одну?

Розв'язання. Для того щоб тури не могли бити одна одну, на кожній горизонталі і на кожній вертикалі має стояти тільки одна тура (рис. 2.21)

Рис. 2.21

Нехай а₁ — номер вертикалі, на якій стоїть тура з першої горизонталі, а₂ — номер вертикалі на якій стоїть тура з другої горизонталі, …, а₈ — номер вертикалі на якій стоїть тура з восьмої горизонталі.

Зрозуміло, що (а₁, а₂, …, а₈) — якась перестановка множини {1, 2, …, 8}. Кожній такій перестановці відповідає деяке розташування тур, яке задовольняе умову задачі, і навпаки, кожному припустимому розташуванню тур відповідає певна перестановка цієї множини.

Отже, шукана кількість способів дорівнює Р_8, тобто 8!.

Відповідь: 8!.

Задача. 26. Яку найменшу кількість тур можна поставити на шахівниці так, щоб кожна не зайнята турою клітина знаходилася під боєм хоч би трьох з них?

Р

Рис. 2.22

озв'язання: Неважко перевірити, що розстановка на рис. 2.22 задовольняє умову. Припустимо, існує таке розставляння, коли тури менше, ніж 16. Якщо на якій-небудь горизонталі немає жодної тури, то кожна з її клітин може знаходитися під боєм не більше двох тур. Отже, на одній з горизонталей (назвемо її H) повинна стояти рівно одна тура(назвемо її r). Розглянемо будь-яку з семи вільних клітин на H. Згори і знизу від неї повинно знаходитися по турі, тому тур хоча б 1+2*7=15. Значить, їх рівно 15, причому сім з них стоять вище H, а інші сім - нижче.

На вертикалі, де стоїть r (назвемо її V), більше тури немає. Тому, з аналогічних міркувань, на будь-якій горизонталі, окрім H, стоять рівно дві тури: одна лівіше V, інша – правіше (якщо їх більше двох, то всього тур вже 16). Значить, згори від H стоїть парне число тури; але ми знаємо, що їх 7. Протиріччя.

Відповідь: 16.

Задача. 27. Скільки найбільше можна розставити на шахівниці ферзів, щоб вони не погрожували один одному, тобто ніякі два не стояли на одній вертикалі, горизонталі і діагоналі?

Розв'язання. Очевидно, більше восьми ферзів розставити неможливо, тоді хоч би на одній вертикалі і горизонталі їх виявиться не менше двох.

Відповідь: 8.

Задача. 28. Біля кожної тюремної камери можна поставити вартового. Знаходячись у однієї з камер, вартовий бачить, що відбувається в деяких інших, від яких до даної ведуть коридори. Яке найменше число вартових, необхідне для спостереження за усіма камерами?

Рис. 2.23.1

Рис. 2.23.2

Розв'язання. При вирішенні цієї задачі, я застосував метод шахової інтерпретації, досі нечуваний у математичній науці, через малу кількість задач, які можна вирішити даним прийомом..

Якщо шахівницю розглядати як в'язницю, причому поля вважати камерами, а вертикалі, горизонталі і діагоналі - коридорами, то « вартовими» найприродніше призначити ферзів, які можуть вести спостереження у будь-яких напрямах. При цьому завдання про вартових набуває чисто шахового формулювання: «Яке найменше число ферзів можна розставити на шахівниці, щоб під обстрілом знаходилися всі її поля». П'ять ферзів цілком здатні впоратися з шаховою «в'язницею». Доведено, що всього існує 4860 розставлянь цих п'яти ферзів - вартових. У розставлянні, зображеному на рис. 2.23.1 ферзі тримають під обстрілом усі вільні поля дошки, але самі не погрожують один одному. На рис. 2.23.2 ферзі стоять на одній діагоналі і, значить, обстрілюють не лише вільні поля, але і зайняті.

Відповідь: 5.

Задача. 29. На шахівниці розставити вісім ферзів так, щоб жоден з них не міг бити іншого.

Розв'язання. Цим завданням займався німецький математик Гаус. Існує 92 способи рішення цієї задачі. Я покажу, які рішення вдалося знайти мені самому.

Рис. 2.24

Відповідь: див. рис. 2.24

Задача. 30. Розставити на дошці 8 8 найменше можливе число коней так, щоб кожне поле дошки було бите (поле, на якому кінь стоїть, є битим).

Рис. 2.25.1

Рис. 2.25.2

Розв'язання. 12 коней (приклад на рисунку 2.25.1). Менше 12 не хватить, оскільки кожне з 12 червоних полів (див. рис. 2.25.2) б'ють різні коні.

Відповідь: 12 коней, див рис.

Задача. 31. Розставити на шахівниці 24 коня так, щоб кожен з них бив рівно двох інших.

Розв’язання.

Рис. 2.26

Відповідь: рис. 2.26.

3. Задачі на знаходження числа ходів і шляхів пересування шахових фігур

Задача. 32. На шахівниці знаходяться два білі ферзі і чорний король. За скільки ходів білі можуть поставити мат?

Рис. 2.27

Розв'язання. Виявляється, які б не були розміри дошки, і як би не розташовувалися в початковий момент два білі ферзі і чорний король, мат дається не пізніше за четвертий хід.

Першим ходом один з ферзів оголошує шах по вертикалі; у відповідь на відступ короля на одну з сусідніх ліній другим ходом інший ферзь затискає короля на двох вертикалях. При цьому виникає позиція подібна до тієї, що зображена на рис. 2.27

На будь-який рух короля на третьому ходу слідує відповідний горизонтальний шах і мат наступним ходом, наприклад 2... Крe4 3. Фc4+ Крe5(e3) 4. Фf4

Відповідь: не пізніше ніж за 4 ходи.

Задача. 33. Скількома способами король з поля е1 може добратися найкоротшим шляхом до поля d8?

Розв'язання. Очевидно, що найкоротша подорож короля до мети займає сім ходів, причому він може переміщатися будь-якими зигзагоподібними шляхами, залишаючись при цьому усередині прямокутника e1 - a5 - d8 - h4. Для підрахунку шуканого числа шляхів складемо таблицю чисел, які поміщатимемо прямо на полях дошки (мал. 2.27).

Рис. 2.28

Число, що стоїть на цьому полі дорівнює числу найкоротших шляхів до нього з поля e1. На поля d2, e2 і f2 король може потрапити найкоротшим шляхом єдиним способом, і тому на них стоять одиниці. З тієї ж причини одиниці стоять на полях c3 і g3. На d3 за два ходи король потрапляє двома способами, а на e3 - трьома. У загальному випадку число найкоротших шляхів до цього поля складається з одного, двох або трьох чисел, що стоять на полях попередньої горизонталі, з яких король потрапляє на це поле в один хід. Користуючись цією закономірністю, ми, врешті-решт, заповнимо усю таблицю і отримаємо, що з поля e1 до поля d8 король може добратися найкоротшим шляхом 357 способами.

Відповідь: 357 способами.

Задача. 34. Яке найменше число поворотів повинна зробити тура при обході усіх полів шахової дошки?

Розв'язання. Для дошки розмірами nxn. Тура повинна була зробити хоч би один хід уздовж кожної вертикалі або уздовж кожної горизонталі.

Рис. 2.29.1

Нехай, тура рухалася хоч би раз уздовж кожної вертикалі.

Рис. 2.29.2

На будь-яку з них, окрім тих, де маршрут почався і закінчився, тура повинна була увійти і після руху уздовж неї вийти. При цьому вхід і вихід обов'язково відбуваються з поворотами. Таким чином, загальне число поворотів не менше, ніж 2(n - 2) +1+1=2(n - 1). Для будь-кого n маршрут, що містить рівно стільки поворотів, можна отримати з маршруту, приведеного на рис., а; при n=8 тура робить 2(8-1) =14 поворотів. Цей маршрут є відкритим(рис. 2.29.1), замкнутий маршрут складається вже з 16 ходів (рис. 2.29.2)

Відповідь: 14.