4. Алгебраїчні мотиви на шахівниці

З

Рис. 2.18

адача. 18. У одній не кутовій клітині шахівниці стоїть "-", а в інших клітинах стоять "+". Дозволяється поміняти знаки на усіх клітинах однієї вертикалі, горизонталі або діагоналі. Чи можна за допомогою декількох таких операцій добитися того, щоб на усіх клітинах дошки стояли однакові знаки.

Розв'язання. Виділимо на дошці декілька клітин так, щоб вони утворювали фігуру, зображену на малюнку, і щоб на одній з цих клітин стояв "-". Помітимо, що будь-яка з операцій, описаних в умові, не міняє парності числа мінусів в нашій фігурі, тому в нашій фігурі буде завжди непарне число мінусів, а, означає, в ній будуть і "+", і "-".

Відповідь: ні.

Задача. 19. На усіх клітинах шахівниці розставлені натуральні числа. Дозволяється виділити будь-який квадрат розміром 3 3 або 4 4 і збільшити усі числа в нім на 1. Ми хочемо в результаті декількох таких операцій добитися, щоб числа в усіх клітинах ділилися на 10. Чи завжди вдасться це зробити?

Розв'язання. Розглядатимемо числа по модулю 10. Візьмемо набір, що складається тільки з нулів, і підрахуємо, скільки наборів ми зможемо отримати, виходячи з нього за допомогою вказаних в умові операцій. На дошці 8 8 можна виділити 6²=36 квадратів 3 3 і 5²=25 квадратів 4 4. Тому шуканих наборів не більше 10²⁵⁺³⁶=10⁶¹. Але усього наборів 10⁶⁴. Значить, існує набір, який за допомогою вказаних операцій з набору, що складається з нулів, отримати не вдасться. Якщо ми приймемо такий набір за початковий, то набір з нулів з такого набору отримати не вдасться.

Відповідь: ні, не завжди.

2. Математика шахових фігур

   1. Задачі на парність і непарність

Задача. 20. Кінь вийшов з поля А8 і через декілька ходів повернувся на нього. Доведіть, що він зробив парне число ходів.

Розв'язання. Ви, напевно, помітили, що, роблячи кожен хід, кінь міняє колір клітини, на якій він стоїть. Отже: кожен непарний хід кінь вставатиме на чорну клітину. Виходячи з цього і знаючи те, що кінь повинен повернутися на клітину А8, білого кольору, ми можемо сказати, що він повернеться через парне число ходів.

Відповідь: доведено.

Задача. 21. Чи може кінь пройти з поля a8 на поле h1, побувавши по дорозі на кожному з інших полів рівно один раз?

Розв'язання. Як і в попередньому завданні при кожному ході кінь міняє колір клітини, на якій він стоїть. Отже, на дошці 63 ходи (непарне число), а8 - біла клітина, при 63 ході кінь буде на чорній клітині.

Відповідь: ні.

Задача 22. На шахівниці стоїть фігура «верблюд», яка кожним ходом зрушується на три клітини по вертикалі і одну по горизонталі, або на три по горизонталі і одну по вертикалі. Чи «може верблюд», зробивши декілька ходів, потрапити в клітину, сусідню початковій по стороні?

Р озв'язання. Якщо « верблюд» стояв на білій клітині шахівниці, то після чергового ходу він знову виявиться на білому полі. І скільки б разів і в якому би напрямі він не ходив, на сусідньому по стороні, тобто на чорному полі, він виявитися не може. Аналогічні міркування проводимо, коли « верблюд» стоїть на чорному полі.

Відповідь: ні.