2. Задачі на розфарбовування шахової дошки

Задача Поля шахівниці по черзі зафарбовуватимемо в червоний колір так, щоб після зафарбовування кожної наступної клітини фігура, що складається із зафарбованих клітин, мала вісь симетрії. Покажіть, як можна, дотримуючись цієї умови, зафарбувати: а) 26; б) 28 клітин. (В якості відповіді розставте на тих клітинах, які мають бути зафарбовані, числа від 1 до 26 або до 28 в тому порядку, в якому проводилося зафарбовування.).

Розв'язання.

Рис. 2.9

Відповідь: рис 2.9.

Задача 9. Відмітьте на шахівниці декілька клітин так, щоб будь-яка (у тому числі і будь-яка відмічена) клітина граничила по стороні рівно з однією відміченою клітиною.

Р озв'язання.

Рис. 2.10

Відповідь: рис 2.10.

Задача 10. У яке найбільше число кольорів можна розфарбувати шахову дошку так, щоб кожна клітина граничила по стороні хоч би з двома клітинами свого кольору? Кожна клітина зафарбовується цілком в один колір.

Розв'язання. Дошку можна розфарбувати в 16 кольорів. Клітин кожного кольору не менше чотирьох, оскільки серед трьох клітин завжди знайдеться « крайня» (межуюча не більше ніж з однією з інших двох). Тому кольорів не більше 64 : 4 = 16. Приклад для 16 кольорів: розділимо і дошку на квадрати 2×2 клітини і кожен квадрат пофарбуємо у свій колір.

Відповідь: 16.

Задача 11. Буратіно узяв квадрат картатого паперу 8×8 клітин, деякі клітини зафарбував чорним, а інші залишив білими. Подивився і говорить: «У кожної чорної клітини рівно дві чорні сусідки (по стороні)». Ліса Аліса картинку не бачила, але стверджує, що чорних клітин не більше, ніж 36. Чи права вона?

Р

Рис. 2.11.1

Рис. 2.11.2

озв'язання. Ліса не права. На рис. 2.11 зображені приклади, коли чорних клітин 40. Причому в прикладі, зображеному на рис. 2.11.2 , по дві чорні сусідні клітини не лише у чорних клітин, але і у білих.

Відповідь: ні.

3. Задачі на шахівницю та доміно

Задача 12. З шахівниці випиляли 2 поля. У яких випадках клітини, що залишилися, можна розбити на 31 прямокутник 1 2?

Р

Рис. 2.12.1

Рис. 2.12.2

озв'язання. Якщо вирізані клітини одного кольору, то залишиться на дошці нерівна кількість білих і чорних клітин, а кожен прямокутник 1 2 містить порівну чорних і білих клітин.

Значить, частину дошки, що залишилася, розрізати на прямокутники 1 2 не можна. Якщо вирізані клітини різного кольору, то можна. Досить знайти маршрут обходу дошки по клітинах (рис 2.12.1).

Тепер при вирізі двох клітин кожного з ланцюгів, що утворилися, легко розрізати на прямокутники 1 2 (рис 2.12.2).

Відповідь: Якщо вирізані клітини різного кольору.

З адача 13. Чи можна з шахівниці 8 8 викинути а) 32, б) 48 клітин так, щоб на клітинах, що залишилися, не можна було розмістити доміношки 1 2, але при додаванні будь-якої з викинутих клітин, доміношки розташувати було б можна?

Розв'язання.

а) Можна, наприклад, викинути усі чорні клітини.

б

Рис. 2.13

) Можна (див. мал., жовтим позначені клітини, що залишилися, інші, - викинуті). Насправді 48 - найбільше число клітин, які можна викинути так само, але доказ цього факту занадто нудний (потрібно помітити, що якщо ми розіб'ємо дошку на 16 квадратів 2 2, то при викиданні 49 або більше за клітини в одному з таких квадратів не залишиться клітин(назвемо такий квадрат "порожнім"); далі потрібно розглядати три випадки розташування порожнього квадрата.).

Відповідь: можна; див. рис 2.13.

З

Рис. 2.14.1

Рис. 2.14.2

адача. 14. Один художник пофарбував декілька клітин шахівниці, дотримуючись правила: кожне наступне зафарбовуване поле має бути сусідом по стороні з попередньо зафарбованим полем, але не повинне — ні з одним іншим раніше зафарбованим поем. Йому вдалося пофарбувати 36 полів. Перевершіть його р езультат.

Розв'язання. Можна зафарбувати 42 поля, зафарбувати 43 поля - неможливо. Приклади відповідей зображені на рис. 2.14.

Відповідь: див. рис 2.14.

З адача. 15. Від шахівниці відрізали дві клітини (ліву нижню і праву верхню). Чи можна отриману фігуру повністю покрити «доміношками» — прямокутниками 1×2?

Р

Рис. 2.15

Рис. 2.15

озв'язання. Не можна. Приберемо від шахівниці дві кутові білі клітини (рис. 2.15). Кожна доміношка покриває одну білу і одну чорну клітину. Фігура, яку можна покрити доміношками, повинна містити білих і чорних клітин порівну. У нашій же фігурі чорних клітин більше, ніж білих.

Відповідь: не можна.

З адача. 16. Відомо, що шахівницю покрили декількома плитками 2 × 2 і декількома смужками 1 × 4. Чи можна покрити шахову дошку, якщо одну плитку замінити смужкою?

Р

Рис. 2.16

озв'язання. Для доказу розфарбуємо наш квадрат 8х8 в чотири кольори, як на рис. Як не укладай смужку 1×4, вона займає по одній клітині кожного кольору. А плитка 2×2 неодмінно закриває дві клітини одного і того ж кольору і один колір «пропускає» (тобто клітини цього кольору в ній взагалі немає). Тому в покритті квадрата 8×8 плитками і смужками заміна однієї плитки на смужку (чи навпаки, смужки на плитку) неможлива.

Відповідь: не можна

Задача. 17. Розділіть фігуру на дві однакові частини, і з отриманих частин складіть шахівницю.

Розв'язання.

В

Рис. 2.17

ідповідь: див. рис 2.17.