13

5 Практичне заняття № 5

Тема:	Двоїста задача лінійного програмування
Мета:	Навчити складати двоїсту задачу. Навчити знаходити розв’язок двоїстої задачі за розв’язком прямої і навпаки.
Час:	2 год.

1. Порядок виконання роботи

• Представити викладачу виконане домашнє завдання. Умову завдання наведено у п.4.5

• Проробити практичну частину.

• Виконати домашнє завдання.

2. Завдання для самопідготовки

У процесі підготовки до заняття студент в обов’язковому порядку повинен виконати наступні завдання:

а) вивчити конспект лекцій;

б) опрацювати рекомендовану літературу: [1] с. 47-55;

3. Практична частина

5.3.1 Контрольний приклад

Задача 1

Визначити максимальне значення функції

при заданій системі обмежень:

Скласти двоїсту задачу і розв’язати її геометричним методом. За розв’язком двоїстої задачі знайти розв’язок вихідної задачі.

Розв’язання

Цільова функція складається у пошуку максимального значення, тому система обмежень повинна мати вигляд (2). Помножимо другу нерівність на –1, отримаємо наступну систему

Складемо двоїсту задачу для вихідної. Для цього запишемо матрицю коефіцієнтів А вихідної задачі

.

Визначимо матрицю А^Т, яка є транспонованою до А

.

Кількість змінних у двоїстій задачі дорівнює кількості обмежень системи вихідної задачі – двом. Тобто це змінні .

Коефіцієнти при невідомих у цільовій функції двоїстої задачі дорівнюють вільним членам в системі обмежень вихідної задачі, тобто –8 і –6.

Цільова функція вихідної задачі складається в визначені максимального значення, тому цільова функція двоїстої задачі складається в визначенні мінімального значення.

Змінні вихідної задачі приймають лише невід’ємні значення, тому в системі умов двоїстої задачі повинно бути сім нерівностей виду “ ”.

Таким чином, двоїста задача відповідно до вихідної задачі полягає в визначенні мінімального значення функції

при умовах

Розв’яжемо двоїсту задачу геометричним методом.

Побудуємо багатокутник розв’язків. Для цього будуємо напівплощини відповідно кожної нерівності, їх межи визначені відповідними прямими

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)
	(5)
	(6)
	(7)

Графіком отриманих рівнянь є прямі, які проходять відповідно крізь точки

(0; 3) і (2; 0);	(1)
(0;4) і (-4; 0);	(2)
(0; 5) і (-10; 0);	(3)
(0; -2) і (4; 0);	(4)
(0; 10) і (10; 5);	(5)
(10; 0) і (10; 5);	(6)
(0;7) і (10; 7).	(7)

Визначаємо напівплощини, які задані кожною нерівністю. Багатокутник розв’язків ABDFKLMNО зображено на рис. 5.2. Будуємо вектор та пряму рівня , перпендикулярно до .

Рисунок 5.2 – Багатокутник розв’язків задачі.

Пересуваємо пряму в напрямку протилежному напрямкові вектора . Остання загальна точка з багатокутником розв’язку (точка  ) є точкою, у якій цільова функція досягає свого мінімального значення. Точка є точкою перетину п’ятої і шостої прямих. Координати точки К задовольняють рівнянням цих прямих.

Таким чином, і цільова функція досягає свого мінімального значення

.

За розв’язком двоїстої задачі визначимо розв’язок прямої.

Точка є точкою перетину п’ятої і шостої прямих. Як відомо, обмеження двоїстої задачі відповідають змінним прямої задачі. Тобто п’яте і шосте обмеження відповідають змінним і , тому змінні , є ненульовими, а , , , . Таким чином розв’язуємо наступну систему рівнянь

Отримані значення підставляємо в цільову функцію, одержуємо максимальне значення цільової функції, а саме

Висновок

Цільова функція вихідної задачі досягає свого максимального значення при 0; 0; 0; 0; 3; 5; 0.

Цільова функція двоїстої задачі досягає свого мінімального значення при 10, 5.

Задача 2

Раціон годівлі худоби містить харчові добавки А, В, С. У добу тварина повинна з'їдати не менш 200 г добавки А, 150 г добавки В, 100 г добавки С. Харчові добавки містяться в концентратах трьох видів К-1, К-2, К-3. Ціна концентратів за 1 кг відповідно складає 5, 4 і 10 грн. Вміст добавок в одному кг концентрату зазначено в таблиці 5.3.

Таблиця 5.3 – Вміст добавок в одному кг концентрату

Добавки	Концентрати
	К-1	К-2	К-3
А В С	15 10 0	10 17 14	10 5 10

Скласти математичну модель для визначення мінімальної вартості концентратів. Відповідно до вихідної задачі скласти двоїсту задачу та розв’язати її симплекс-методом. За розв’язком двоїстої задачі визначити розв’язок вихідної.

Розв’язання

Припустимо, що необхідно кг концентрату К-1, кг концентрату К-2, кг концентрату К-3.

Для визначення оптимального раціону годівлі худоби треба розв’язати задачу, яка полягає в мінімізації собівартості

при наступних обмеженнях

Згідно з загальними правилами задача, яка є двоїстою по відношенню до даної, формулюється наступним чином.

Визначити максимальне значення функції

при системі обмежень

Економічна інтерпретація двоїстої задачі полягає в визначенні такого набору цін (оцінок) харчових добавок , при якому загальні потреби на харчові добавки будуть максимальними за умови, що витрати на харчові добавки будуть не більшими за вартість концентратів.

Розв’яжемо двоїсту задачу симплекс-методом. Приведемо задачу до канонічного виду

Заповнюємо першу симплекс-таблицю:

1. У стовпець базис виписуємо базисні змінні .

2. У стовпець виписуємо коефіцієнти цільової функції при базисних змінних.

3. У стовпець виписуємо праві частини рівнянь системи обмежень, а в стовпці – матрицю системи.

4. В -ому рядку виписуємо значення цільової функції і для .

Таким чином,

,

Таблиця 5.4 – Перша симплекс-таблиця

				200	150	100	0	0	0
		Базис
1	0		5	15	10	0	1	0	0	5/15
2	0		4	10	17	14	0	1	0	4/10
3	0		10	10	5	10	0	0	1	10/10
4			0	-200	-150	-100	0	0	0

Початковий опорний план задачі має вигляд , . Перевіримо план на оптимальність. Тому що рядок містить від’ємні елементи, то отриманий план не є оптимальним.

Для визначення напрямного стовпця вибираємо максимальне за модулем від’ємне значення серед . Це . Отже напрямним є відповідний стовпець (стовпець ).

Для визначення напрямного рядка обчислюємо (для , ). Значення є мінімальним серед усіх значень , тому відповідний рядок (рядок ) є напрямним.

Заповнимо другу симплекс-таблицю.

Змінну вводимо до базису, зміну виводимо з базису. Всі елементи напрямного рядка ділимо на дозвільний елемент. Всі елементи напрямного стовпця зміняємо нулями, а дозвільний елемент – одиницею. Інші елементи таблиці перераховуємо за правилом прямокутника.

Наприклад,

Таблиця 5.5 – Друга симплекс-таблиця

				200	150	100	0	0	0
		Базис
1	200		1/3	1	2/3	0	1/15	0	0	-
2	0		2/3	0	31/3	14	-2/3	1	0	1/21
3	0		20/3	0	-5/3	10	-2/3	0	1	2/3
4			200/3	0	-50/3	-100	40/3	0	0

, .

Серед значень рядка є від’ємні, тому отриманий план не є оптимальним. Напрямним стовпцем у другій симплекс-таблиці є стовпець , тому що , а напрямним рядком – рядок .

Заповнюємо третю симплекс-таблицю.

Таблиця 5.6 – Третя симплекс-таблиця

				200	150	100	0	0	0
I		Базис		Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6
1	200		1/3	1	2/3	0	1/15	0	0
2	100		1/21	0	31/42	1	-1/21	1/14	0
3	0		130/21	0	-190/21	0	-4/21	-5/7	1
4			500/7	0	400/7	0	60/7	50/7	0

План є оптимальним, тому що в рядку немає від`ємних значень. При даному плані

.

Розв’язком двоїстої задачі є .

Визначимо оптимальний розв’язок вихідної задачі за допомогою теореми двоїстості. На підставі першої теореми двоїстості . На підставі другої теореми двоїстості компоненти оптимального розв’язку прямої задачі дорівнює відповідно змінним у підсумковій симплекс таблиці, тобто Таким чином, мінімальна вартість концентратів складає 71,4 грн.

Висновок

Для забезпечення необхідної потреби змісту добавок у раціоні необхідно придбати з мінімальною вартістю, що дорівнює 71,4 грн., 8,571 кг концентрату К-1 і 7,143 кг концентрату К-2. Споживання добавки виду В поверх норми складає 57,143 кг.