13.2. Економіко-математична модель міжгалузевого балансу

Статистичні міжгалузеві моделі використаються для розробки планів випуску й споживання продукції й ґрунтуються на співвідношеннях міжгалузевого балансу.

При побудові моделі роблять наступні припущення:

1) всі продукти, вироблені однією галуззю, однорідні й розглядаються як єдине ціле, тобто фактично передбачається, що кожна галузь робить один продукт;

2) у кожній галузі є єдина технологія виробництва;

3) норми виробничих витрат не залежать від об'єму випускає продукции, що;

4) не допускається заміщення однієї сировини іншим.

У дійсності ці припущення, звичайно, не виконуються. Навіть на окремому підприємстві звичайно випускаються різні види продукції, використаються різні технології, питомі витрати залежать від об'єму випуску й у тих або інших межах допускається заміна однієї сировини іншим. Отже, ці припущення тим більше невірні для галузі. Однак такі моделі одержали широке поширення й, як показала практика, вони цілком адекватні й застосовні для складання планів випуску продукції.

При цих припущеннях величина x_ij може бути представлена в такий спосіб:

(3.3)

Величина називається коефіцієнтом прямих матеріальних витрат. Вона показує, яке кількість продукції -й галузі йде на виробництво одиниці продукції -й галузі. Коефіцієнти вважаються в міжгалузевій моделі постійними.

Підставляючи вираження (3.3) у формулу (3.1), одержимо:

Це співвідношення можна записати в матричному виді:

(3.4)

де - вектор валових випусків;

- вектор кінцевого продукту;

- матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.

Коефіцієнти прямих матеріальних витрат є основними параметрами статичної міжгалузевої моделі. Їхні значення можуть бути отримані двома шляхами:

1) статистично. Коефіцієнти визначаються на основі аналізу звітних балансів за минулі роки. Їхня незмінність у часі визначається підходящим вибором галузей;

2) нормативно. Передбачається, що галузь складається з окремих виробництв, для яких уже розроблені нормативи витрат; на їхній основі розраховуються середньогалузеві коефіцієнти.

Вираження (3.4) прийнято називати балансом розподілу продукції. Його можна використати для аналізу й планування структури економіки. Якщо відомі коефіцієнти прямих матеріальних витрат, те, задавши кінцевий продукт по кожній галузі, можна визначити необхідні валові випуски галузей. У цьому закладена основна ідея використання матричних моделей для планування виробництва.

Перетворимо вираження (3.4):

,
,	(3.5)

де - одинична матриця.

До початку планування варто з'ясувати, чи існує матриця, зворотна матриці , і чи не будуть отримані негативні значення випуску по галузях.

Встановим деякі властивості коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.

1. Незаперечність, тобто , , .  Це твердження треба з незаперечності величин і позитивності валових випусків .

2. Сума елементів матриці по кожному зі стовпців менше одиниці, тобто  .

Довести це твердження нескладно.

Для будь-якої галузі умовно чиста продукція є величина позитивна, оскільки містить у собі заробітну плату, амортизацію, прибуток і т.д., тобто . Тому, використовуючи співвідношення (3.2), можна записати:

зі співвідношення (3.3):

звідки безумовно треба:

таким чином, твердження доведене.

Можна показати, що при виконанні цих двох умов матриця існує і якщо її елементи ненегативні. Говорять, що в цьому випадку матриця прямих витрат є продуктивною.

Перепишемо формулу (3.5):

(3.6)

Матриця зветься матриці повних матеріальних витрат, а її елементи називають коефіцієнтами повних матеріальних витрат. Коефіцієнт показує, який повинен бути валовий випуск -й галузі для того, щоб забезпечити випуск одиниці кінцевого продукту -й галузі.

Можна показати, що

(3.7)

Помножимо обидві частини на :

,
,
,
,
.

Доведено.

Зі співвідношення (3.7) треба . Таким чином, коефіцієнт повних матеріальних витрат , що описує потребу у випуску продукції -й галузі розраховуючи на одиницю кінцевого продукту -й галузі, не менше коефіцієнта прямих матеріальних витрат , що розраховує на одиницю валового випуску.

Крім того, зі співвідношення (3.7) для діагональних елементів матриці треба:

Взаємозв'язок коефіцієнтів прямих і повних матеріальних витрат найпростіше простежити на прикладі: нехай одиницею випуску хлібопекарської промисловості є хліб (малюнок 3.1).