Введение

Целью дисциплины является изучение особенностей организации вычислительных машин, систем и сетей ЭВМ, принципов построение отдельных устройств и взаимодействие их в процессе ввода, обработки и вывода информации.

В результате изучения дисциплины студенты должны знать: -принципы функциональной и структурной организации вычислительных машин, систем, комплексов и сетей ЭВМ, арифметических, логических и схемотических основ ЭВМ;

принципы организации внутренних и внешних ЗУ;

структуру процессоров;

принципы работы устройств ввода и вывода информации и организация взаимодействия их с центральными устройствами;

основы проектирования вычислительных систем и сетей.

Лабораторная работа №1 Исследование логических и запоминающих элементов

(6 часов)

Цель работы: Приобретение практических навыков построения цифровых вычислительных устройств на основе логических и запоминающих элементов.

Краткие теоретические сведения

Элементной базой современных цифровых устройств и систем являются цифровые интегральные схемы (ИС). ИС – это микроэлектронное изделие, изготовленное методами интегральной технологии (чаще полупроводниковой), заключенное в самостоятельный корпус и выполняющее определенную функцию преобразования дискретных (цифровых) сигналов. Номенклатура выпускаемых промышленностью цифровых ИС достаточно обширна. Весьма разнообразны реализуемые ими функции.

Простейшие преобразования над цифровыми сигналами осуществляют цифровые ИС, получившие названия логических элементов (ЛЭ). Для описания работы цифровых ИС, а, следовательно, и устройств, построенных на их основе, используется математический аппарат алгебры логики или булевой алгебры. Возможность применения булевой алгебры для решения задач анализа и синтеза цифровых устройств обусловлена аналогией понятий и категорий этой алгебры и двоичной системы счисления, которая положена в основу современных цифровых вычислительных устройств.

Основными объектами булевой алгебры являются логические переменные и логические функции. Логической переменной называется величина, которая может принимать одно из двух возможных состояний (значений), одно из которых обозначается символом “0”, другое – “1” (для обозначения состояний возможно применение и других символов, например, “Да” и “Нет” и др.). Сами двоичные переменные обычно обозначают символами х1, х2,… В силу определения, логические переменные можно называть также двоичными переменными.

Логической (булевой) функцией (обычное обозначение – у) называется функция двоичных переменных (аргументов), которая также может принимать одно из двух возможных состояний (значений): “0” или “1”. Значение некоторой логической функции n переменных определяется или задается для каждого набора (сочетания) двоичных переменных. Количество возможных различных наборов, которые могут быть составлены из n аргументов, равно 2²ⁿ.

Множество состояний (значений), которые могут принимать как аргументы, так и функции, равно двум. Для этих состояний в булевой алгебре определяются отношение эквивалентности, обозначаемое символом равенства (=) и три операции:

а) логического сложения (дизъюнкции, логическое «ИЛИ» );

б) логического умножения (конъюнкции, логическое «И»);

в) логического отрицания (инверсии, логическое «НЕ»),

обозначаемые соответственно символами:

+, - операция дизъюнкции,

, , & - операция конъюнкции,

 - операция инверсии .

Постулативно полагается, что при выполнении перечисленных операций отношения эквивалентности имеют вид:

а) 0 + 0 = 0, б) 0 0 = 0, в)  0 = 1,

0 + 1 = 1, 0 1 = 0,  1 = 0.

1 + 0 = 1, 1 0 = 0,

1 + 1 = 1; 1 1 = 1;

Для булевой алгебры справедливы три аксиомы:

Закон коммутативности- xy= yх, x∙y=y ∙х;

Закон ассоциативности – (xy)z=x(yz), (x∙y) ∙z=x∙(y ∙z);

Закон дистрибутивности - x∙(yz)=x∙yх∙z, xy ∙z=(xy) ∙(хz);

Справедливы также следующие соотношения:

Любая логическая функция двоичных переменных может быть задана таблично. Такие таблицы получили название таблиц истинности. В строки данных таблиц записываются все возможные двоичные наборы значений аргументов, а также соответствующее каждому из этих наборов значение функции.

К примеру, пусть требуется составить таблицу истинности логической функции равнозначности (эквивалентности) трех двоичных переменных, т.е. функции у, которая принимает единичное значение только при совпадении всех ее трех аргументов.

Сначала выпишем все возможные наборы (комбинации) трех переменных. Таких наборов,очевидно, будет 8. Чтобы не ошибиться при перечислении наборов аргументов, целесообразно перечислять их единообразно – в виде возрастающей последовательности чисел, представленных в двоичной системе счисления. Для рассматриваемого примера наборы трех переменных перечислим в следующем порядке: 000, 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 – итого восемь двоичных чисел – от 0 до 7.

Далее для каждого набора двоичных переменных определим соответствующее значение функции. В результате получаем таблицу истинности логической функции «равнозначность» трех двоичных переменных следующего вида:

Таблица 1.1 – Таблица истинности

х1	х2	х3	у
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Задание логической функции таблицей истинности не всегда удобно. При большом числе двоичных переменных табличный способ задания функции становится громоздким и теряет наглядность. Возможен и аналитический способ задания логических функций, который предусматривает запись функции в форме логического выражения, устанавливающего, какие логические операции над аргументами функции должны выполняться и в какой последовательности.

Алгебра логики предполагает возможность образования сложных функций, т.е. функций, аргументы которых являются функциями других двоичных аргументов.

Операция замены аргументов одной функции другими функциями называется суперпозицией функций. Эта операция дает возможность выразить сложную логическую функцию через более простые (элементарные).

Существуют универсальные формы представления, дающие возможность получить аналитическую форму непосредственно по таблице истинности для произвольной булевой функции.

Определение. Конституантой единицы называются функция f(x₁,x₂…x_n) принимающая значение 1 только на единственном наборе значений аргументов. Она записывается, как логическое произведение п различных булевых переменных, некоторые из которых могут быть с отрицаниями. Например, элементарное логическое произведение является конституантой единицы переменных х₁, х₂, х₃, х₄, принимает значение 1 на единственном наборе 1001. На остальных наборах данная конституанта единицы равна нулю.

Как было определено выше, дизъюнкция логических переменных равна 1, когда хотя бы одна из них принимает значение 1. Исходя из этого, можно легко выразить любую булеву функцию, как дизъюнкцию конституант единицы, соответствующим тем набором, на которых функция равна 1.

В общем виде такую конституантную единицу можно записать следующим образом:

Приведенное выражение называется Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).

Пример. Пусть требуется составить аналитическое выражение на основе СДНФ для логической функции f, заданной следующей таблицей истинности.

Таблица 1.2 – Таблица истинности

х1	х2	х3	f
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 1 0 1 0 0 1

Соответствующее аналитическое выражение может быть получено в виде:

Другая универсальная форма представления булевых функций называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ). Она выводится на основе конституены нуля№

Определение. Конституантой нуля называется функция, принимающая значение 0 на единственном наборе значений логшических аргументов.

Конституанта нуля записывается в виде элементарной дизъюнкции всех переменных логической функции. Каждому набору соответствует своя конституанта 0. Например, набору 0110 переменных х₁,х₂,х₃,х₄ соответствует конституанта нуля №

Выражение логической функции на основе СКНФ представляет конъюнкцию конституант нуля, соответствующих нулевым набором функции.

К примеру, для рассмотренной выше таблично-заданной логической функции f. Аналитическое выражение на основе СКНФ будет иметь вид:

Цифровые вычислительные устройства основываются на логических элементах и в этом смысле могут рассматриваться как разновидность логических устройств. Логические элементы реализуют элементарные логические операции. Устройства, объединяющие в себя некоторое число логических элементов, взаимосвязанных определенным образом и срабатывающих в заданной последовательности, называются логическими схемами.

Дискретные логические устройства, выполняющие преобразования дискретных сигналов, позволяют воспроизводить базовые цифры 0 и 1 двоичной системы счисления, что предопределяет возможность построения технических устройств для воспроизведения и преобразования двоичных чисел и операций над ними, а следовательно возможность построения автоматических вычислительных устройств.

Как отмечалось выше, из алгебры логики известно, что любое преобразование двузначных переменных может быть описано в терминах операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Для реализации указанных операций в вычислительных устройствах используются соответствующие логические элементы. Они имеют входы, число которых соответствует числу аргументов функции и один выход, значение которого определяет значение реализуемой функции. Ниже будут рассмотрены основные типы логических элементов и соответствующие им принципиальные электронные схемы.

Логический элемент “НЕ” (инвертор). Операция отрицания реализуется на логическом элементе типа “НЕ”, называемом также инвертором. Такой элемент характеризуется тем, что имеет только один вход Х и только один выход Y (рис. 1.1), значение которых связывает отношение вида:

т.е. значение выхода Y соответствует обратному значению входа Х (Y равно “НЕ” Х).

Х Y

НЕ

Рисунок 1..

В условном обозначении инверторное слово “НЕ” может быть заменено знаком логического отрицания . Такой элемент может быть реализован электронной схемой вида:

-E_k

C

R₃

выход

вход K Y

X T

Б

R₁

=

R₂

+E_c

Рисунок 1.2.

Если на вход данной схемы поступает сигнал Х со значением 1, то на базу Б транзистора Т поступает положительное напряжение +Е_с, в следствие чего транзистор окажется в запертом состоянии и ток в коллекторе К транзистра будет отсутствовать. Следовательно падение напряжения на резисторе R₃ будет равно нулю и снимаемый на выходе схемы сигнал Y также будет равен нулю. Следовательно . В том случае, если на вход схемы будет подан сигнал Х=0, транзистор Т откроется и на выходе схемы будет зафиксирован сигнал Y=1, т.е .

Следует отметить, что устройство данного типа может быть использовано только для инвертирования потенциальных сигналов. Для сигналов с импульсной характеристикой используются специальные схемы на импульсных элементах.

Работа логических устройств характеризуется таблицей истинности значений сигналов. Такая таблица для элемента “НЕ” имеет вид:

Входной сигнал	Выходной сигнал
0	1
1	0

Таким образом данному элементу свойственно наличие вйходного сигнала только в случае отсутствия входного сигнала.

Логический элемент “И”. Данный элемент реализует логическую операцию  (коньюкция) над значениями входных сигналов. Так для случая элемента с тремя входами его можно изобразить условно в виде:

Х₁

^О

Х₂ Y

И ^О

Х₃

Рисунок 1.3.

Обозначение “И” здесь может быть заменено знаком  либо .

В общем случае, на вход элемента могут поступать произвольное число сигналов Х₁, Х₂, … , Х_n. При этом значение выходного сигнала Y определяется как функциия вида:

Y = X₁  Х₂ … Х_n

Т.е. сигнал на входе элемента принимает значение еденица только в том случае, когда все сигналы на входе равны единице, Х_i = 1, i=1,2,…,n. В противном случае Y = 0.

Таблица истинности значений сигналов для случая n=2 имеет вид:

Входные сигналы		Выходной сигнал
х1	х2	Y
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1

Элемент “И” реализуется электронной схемой вида:

Х₁

Х₂ Y

Х₃

R

=

Рисунок 1.4.

В этой схеме электрический ток, а следовательно смещаемый потенциал на резисторе R, будет иметь высокое значение 1 только в том случае, когда все диоды во входных цепях будут находится в запертом состоянии. А это происходит только в том случае, когда на входах диодов имеет место высокий потенциал Х_i = 1, i=1,2,3. Если, хотя бы один из диодов окажется в открытом состоянии, что возможно в случае Х_i = 0, то в его цепи потечет ток, в результате чего потенциал Y упадет, следовательно сигнал на входе пропадет, т.е. выполнится условие:

Y = 0.

Таким образом элемент “И” можно охарактеризовать как элемент с выходным сигналом при наличии сигнала на всех его входах.

Логический элемент “ИЛИ” реализует логическую операцию  (дизьюкция) над значениями входных сигналов Х₁,Х₂,…,Х_n, поступающих на n входов элемента. При этом значение выходного сигнала Y будет определятся функцией вида:

Y = X₁  X₂  …  X_n

В соответствии с этой функцией имеет место Y = 1 в случаях, когда хотябы один из входных сигналов Х_i, i=1,2,…,n равен еденице. Сигнал на выходе элемента равен нулю в единственном случае, когда X_i = 0, i.

Условное обозначение элемента имеет вид:

Х₁ о Y Х₁о Y

Х₂ о ИЛИ о Х₂о о

Х₃ о Х₃о

Рисунок 1.5.

Обозначение “ИЛИ” может быть заменено знаком .

Рабочий элемент может быть реализован схемой вида:

_О -Е

R

X₁ o o o Y

X_{2 O}

X₃ o

Рисунок 1.6.

В данной схеме ток на резисторе R, а следовательно и потенциал Y имеют высокое значение, кроме случая Х_i = 0, i, так как если открыта хотябы одна из входных цепей, что наблюдается в случае X_i = ­­­­1, через нагрузку R течет электрический ток и потенциал Y высок, т.е. Y = 0. В случае когда Х_i = 0, i, ток в цепи нагрузки R отсутствует, потенциал Y принимает низкое значение, т.е. Y = 0.

Таблица истинности значений сигналов элемента “ИЛИ” для случая n = 2 имеет вид:

Входные сигналы		Выходной сигнал
х1	х2	y
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1

Элемент “ИЛИ” можно охарактеризовать как элемент с нулевым сигналом при полном отсутствии входных сигналов.

Цифровые вычислительные устройства могут быть реализованы в виде логических схем двух основных типов:

а) комбинационной логической схемы;

б) паоследовательностной логической схемы.

Комбинационная логическая схема характеризуется тем, что преобразует входную комбинацию сигналов в выходную в статике. Это означает, что сколько раз на вход устройства будет подана одна и таже комбинация сигналов, столько раз будет выдана одна и таже комбинация выходных сигналов. Причем вне зависимости от того какая комбинация входных сигналов обрабатывалась перед и после рассматриваемой.

В отличие от комбинационной логической схемы, последовательностная логическая схема характеризуется как динамическая. Такая схема может различным образом обрабатывать одну и ту же входную комбинацию сигналов в зависимости от того, какая комбинация обрабатывалась перед этим. Таким образом последовательностная схема реагирует не на конкретную входную комбинацию сигналов, а на последовательность входных комбинаций, которую схема закономерным образом преобразует в выходную последовательность комбинаций сигналов.

В соответствии с этим, комбинационные логические схемы находят применение в качестве цифровых вычислительных устройств, для воспроизведения заданной вычислительной опрерации над числами в двоичном представлении. Последовательностные схемы используются в качестве устройств управления, которые осуществляют управление своими объектами путем выработки необходимых кодовых комбинаций в ответ на заданную входную комбинацию цифровых кодов.

Структура схема цифрового вычислительного устройства в виде комбинационной логической схемы может быть представлена следующим образом.

Рис. 7

Рисунок 1.7.

Здесь х_i , i=1,2,…,n – входы логической схемы, y_j , j=1,2,…,m – выходы схемы.

Преобразование входной комбинации в выходную производится в соответствии с функцией логической схемы, которая имеет природу логической функции. Такая функция может быть задана таким образом, что при отождествлении логических входов и выходов схемы с двоичными цифрами 0и1 входная и выходная комбинации могут отождествляться с двоичными числами, разрядности n и m соответственно. В этом случае преобразование вхлдной комбинации в выходную будет соответствовать некой вычислительной операции над входным цифровым кодом. При этом можно задать логическую функцию схемы так, чтобы указанная операция соответствовала заданной. На этом принципе и основано построение цифровых вычислительных устройств, оперирующих двоичными числами.

В общем случае порядок проектирования цифрового вычислительного устройства в виде комбинационной логической схемы с заданным функциональным назначением характеризуется как задача синтеза комбинационной схемы с использованием заданного набора логических элементов. При использовании только типов логических элементов можно использовать удобную схему проектирования, которая включает следующие основные этапы.

На первом этапе выполняется структуризация логической схемы по входам и выходам. Она заключается в определении необходимого числа входов и выходов логической схемы. Следующим этапом задается логическая функция схемы в виде таблицы истинности, которая составляется в соответствии с содержанием вычислительной операции над двоичными числами, представленными входным и выходным цифровыми кодами.

На третьем этапе составляется аналитическое выражение для каждой логической функции, отождествляемой с отдельным выходом схемы. Для этого каждая функция , заданная таблично в виде таблицы истинности преобразуется в булево выражение с использованием совершенных нормальных форм представления логических функций. Как известно существуют две основные совершенные формы: дизъюнктивная совершенная нормальная форма (ДНФ) и конъюнктивная совершенная нормальная форма (ДНФ). Они позволяют одну и туже функцию отображать эквивалентно с помощью аналитических выражений двух базовых классов.

Полученные аналитические выражения логических функций обычно отличаются большим числом элементов и допускают возможность эквивалентного преобразования к виду более простых выражений. Подобные преобразования выполняются на основе использования формул приведения логическихз выражений и правил де Моргана, а также с помощью карт Карно, диаграмм Вейча и др.

Минимизированные выражения позволяют построить требуемую логическую схему с использованием минимального числа типовых логических элементов. При этом аналитические выражения логических функций напрямую переводятся в функциональные схемы вычислительных устройств и, таким образом приводят к решению поставленной задачи синтеза вычислительного устройства.