Глава IV. Матрицы и определители.

1. Матрицы и операции над ними

Определение 1. Матрицей размера mn над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов, следующего вида:

, где a_ij P, i= , j= .

Определение 2. Квадратной матрицей n-го порядка над полем P называется матрица размера nхn над полем P.

Пусть A – квадратная матрица n-го порядка. Тогда в А выделяют 2 диагонали: главную и побочную.

главная побочная

Матрицы обозначаются следующим образом: А=(a_ij) или А=||a_ij||, i= , j= .

Вектор-строки матрицы А обозначаются следующим образом:

А_i – i-я вектор-строка матрицы А, т.е. А_i=(a_i1, a_i1, _… ,a_in)= .

Вектор-столбцы матрицы А обозначаются следующим образом:

А^j – j-й вектор-столбец матрицы А, т.е. А^j = = .

Операции над матрицами

1) Сложение матриц.

Определение 3. Пусть A=(a_ij), B=(b_ij) - матрицы размера mxn над полем Р. Суммой матриц А и В называется матрица С=(c_ij) размера mxn над полем Р, где c_ij=a_ij+b_ij, i= , j= , и обозначается С=А+В.

2) Умножение матрицы на скаляр.

Определение 4. Пусть A=(a_ij) – матрица размера mxn над полем P, P. Произведением матрицы А на элемент называется матрица С=(с_ij) размера mxn над полем P, где с_ij= a_ij , j= , i= , и обозначается С= А.

3) Произведение матриц.

Определение 5. Пусть A=(a_ij) – матрица размера mxn над полем P, B=(b_ij) - матрица размера nxk над полем P. Произведением матриц А и В называется матрица С=(с_ij) размера mxk над полем P, в которой элемент с_ij равен скалярному произведению i-й вектор-строки матрицы А на j-й вектор-столбец матрицы B, т.е.

с_ij=A_iB^j=(a_i1,...,a_in) = a_i1b_1j+^…+a_inb_{nj =} , i= , j= , и обозначается С=AB.

4) Транспонирование матрицы.

Определение 6. Пусть A - матрица размера mxn над полем P. Транспонированием матрицы А называется операция замены в матрице А i-й строки на i-й столбец, i= . Матрица, полученная в результате транспонирования матрицы A, называется матрицей, транспонированной к матрице A, и обозначается A^T.

Пример.

Если A = , то А^Т= . Таким образом, если А – матрица размера mn, то А^Т - матрица размера nm.

2. Свойства операций над матрицами.

Определение 1. Две матрицы А и В размера mxn над полем P называются равными, если a_ij=b_ij, i= , j= , и обозначаются А=В.

Определение 2. Матрица над полем P называется нулевой, если все ее элементы равны нулю, и обозначается = .

Свойство 1. Для любых матриц А и В размера mxn над полем P выполняется равенство: А+В=В+А.

Свойство 2. Для любых матриц А, В, С размера mxn над полем P выполняется равенство: А+(В+С)=(А+В)+С.

Свойство 3. Для любой матрицы А над полем P выполняется равенство: А+ = +А=А.

Свойство 4. Для любой матрицы А над полем P существует матрица (-А) такая, что А+(-А)=-А+А= .

Доказательство свойств 1-4. Так как сложение матриц сводится к сложению элементов поля Р, а в поле Р сложение коммутативно и ассоциативно, существует нулевой элемент и для каждого элемента есть противоположный, то эти свойства выполняются и для матриц.

Замечание 1. М_m,n(Р) – множество всех матриц размера mxn над полем P. Из свойств 1-4 следует, что М_m,n(Р) является аддитивной абелевой группой.

Свойство 5. Пусть А, В, С - матрицы над полем Р. Если существует произведение (АВ)С, то существует и произведение А(ВС), причем (АВ)С=А(ВС).

Доказательство. Пусть существует произведение (АВ)С. Тогда существуют матрицы АВ размера mxn и матрица С размера nxk. Это означает, что существуют матрицы А размера mxl и В размера lxn. Таким образом, существуют матрицы А, В и С соответственно размера mxl, lxn и nxk. Тогда существует произведение BC размера lxk и поэтому существует произведение А(ВС).

Покажем, что (AB)C=A(BC). Пусть (АВ)С=(x_ij), А(ВС)=(y_ij), i= , j= . Покажем, что x_ij=y_ij, i= , j= . Пусть A=(a_ip), B=(b_ps), С=(с_sj), АВ=R=(r_is), BC=T=(t_pj), s= , p= . Тогда

x_ij=R_iC^j= = = = ,

y_ij=A_iT^j= = = = .

Таким образом, x_ij=y_ij , i= , j= . Следовательно, (AB)C=A(BC). Свойство доказано.

Свойство 6. Пусть A, B, C – матрицы над полем P следующих размеров: А и В – размера mxn , С – размера nxk. Тогда (А+В)С=АС+ВС.

Доказательство. Пусть (А+В)С=(x_ij), АС+ВС=(y_ij), i= , j= . Покажем, что x_ij=y_ij, i= , j= . Пусть A=(a_is), B=(b_is), С=(с_sj), i= , s= , j= . Тогда x_ij=(A+B)_iС ^j= = = =A_iC^j+B_iC^j=y_ij. Следовательно, (А+В)С=АС+ВС. Свойство доказано.

Замечание 2. Пусть M_n(P) - множество всех квадратных матриц n-го порядка над полем P. Из свойств 1-6 операций над матрицами следует, что M_n(P) - ассоциативное кольцо с единицей.

Отметим, что умножение матриц некоммутативно.

Свойство 7. (AB)^T=B^TA^T.

Свойство 8. Пусть А и В – матрицы над полем P, P. Тогда (AB)=(A)B=A(B).

Свойство 9. Пусть А – матрица над полем P, , P. Тогда ()A= (A)=  (A).

Свойство 10. Пусть А – матрица над полем P, , P. Тогда (+)A=A+A.

Свойство 11. Пусть А и В – матрицы над полем P,  P. Тогда (A+B)=А+B.