2.4. Контактные схемы.

Контактные схемы – это устройства релейно–контактного действия, широко используемые в ЭВМ. Они состоят из переключателей, соединяющих проводов и полюсов (вход в систему, выход из системы). Каждый переключатель может находиться в одном из двух состояний: замкнутом – 1(ток проходит) и разомкнутом – 0 (ток не проходит). Поэтому переключатели представляют собой булевы функции.

Каждой контактной схеме можно поставить в соответствие некоторую булеву функцию. Наоборот, булева функция реализуется некоторой контактной схемой.

Пусть функции f(x)=x соответствует контактная схема: ------ x ------

Тогда логическим операциям над f(x) соответствуют следующие схемы:

----- ---- -- отрицание;

-----x----y---- -- конъюнкция;

x

y -- дизъюнкция

Пример: Контактная схема функции имеет вид:

x z

y

z

Законы математической логики позволяют минимизировать функцию (МНФ), исключив лишние переменные. В итоге контактная схема будет содержать наименьшее число переключателей.

МНФ f= . Тогда упрощенная контактная схема примет вид:

y

z

Задачи.

1. Реализовать контактной схемой функцию из примера (*) .

2. Решить проблему минимизации для контактной схемы предыдущей задачи.

2.5. Логика предикатов.

Предикатом называют логическую функцию одной или нескольких переменных, при замене которых конкретными значениями обращают его в высказывание. В зависимости от количества переменных различают одноместный, двухместный, n-местный предикаты.

Пример: P(x)= «x – простое число» -- одноместный предикат, P(2)= «2 – простое число» -- истинное высказывание(1), P(4)= «4 – простое число» -- ложное высказывание(0).

Q(x,y)= « » -- двухместный предикат, Q(1,2)= «1>2; » -- ложное высказывание(0), Q(2,1)= «2>1; 2,1 » -- истинное высказывание(1).

Замена части предикатных неизвестных обращает его в предикат меньшей местности. Замена вех переменных – в высказывание. Высказывание при этом является 0-местным предикатом.

Совокупность всех значений переменных, обращающих предикат в истинное высказывание образуют множество истинности данного предиката.

По аналогии с высказываниями, к предикатам применяются операции отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, импликации и эквивалентности. Указанные операции обращают предикат в предикат.

Есть возможность обратить предикат в высказывание с помощью так называемых кванторов общности и существования:

(для всех x) – квантор общности;

(существует такое значение x) – квантор существования.

Пример: P(x)= «x – простое число» -- одноместный предикат,

P(x) – истинное высказывание,

P(x) – ложное высказывание.

Если все предикатные переменные связаны кванторами, то предикат обращается в высказывание, если часть, то в предикат меньшей местности. Операция приписывания к предикату квантора называется навешиванием квантора. Переменная, к которой относится квантор, называется связанной, без квантора – свободной.

Пример: P(x,y,z)= « » -- трехместный предикат,

-- двухместный предикат,

-- одноместный предикат,

-- истинное высказывание.

Задачи.

1. Определить, чему равны значения предиката Р(x)= «x – четное число» при x=23 и x=48.

2. Применить кванторы общности и существования к предикату примера 1 и найти значения полученных высказываний.

3. Навесить квантор общности на все переменные предиката P(x,y)= «x делится на y без остатка» и определить значение высказывания.

4. Навесить квантор существования на все переменные предиката P(x,y)= «x делится на y без остатка» и определить значение высказывания.