2.2. Нормальные формы.

Для любой булевой функции можно построить таблицу истинности. Но и по таблице истинности можно восстановить булеву функцию. Различают совершенную дизъюнктивную (СДНФ) и совершенную конъюнктивную (СКНФ) нормальные формы. Обе они являются восстановленными булевыми функциями из исходной таблицы истинности.

Для получения СДНФ в таблице выбирают истинностные значения функции (она не должна быть тождественно-ложной) и соответствующие этим значениям переменные. Если значение переменной равно 0, то ее берут с отрицанием, если 1, то без отрицания и соединяют их конъюнкциями. Таким образом, организуются элементарные конъюнкции. Дизъюнкции элементарных конъюнкций образуют СДНФ.

Пример (*): Дана таблица истинности. Построить СДНФ.

x	y	z
1	1	1	0
1	1	0	0
1	0	1	1
1	0	0	0
0	1	1	0
0	1	0	1
0	0	1	1
0	0	0	0

Функция принимает значение 1 на наборах значений переменных 101, 010, 001.

Этим наборам соответствуют элементарные конъюнкции: .

В итоге получаем СДНФ: .

Для получения СКНФ среди значений функции из таблицы истинности выбирают нулевые (функция не должна быть тождественно-истинной) и соответствующие им переменные соединяют в элементарные дизъюнкции, причем, если переменная имеет 0 значение, то она берется без отрицания, если – 1 -- с отрицанием. Далее элементарные дизъюнкции соединяются знаками конъюнкции, и получается СКНФ.

Пример: Используя таблицу истинности предыдущего примера, составить СКНФ.

Функция принимает 0-значения при следующих комбинациях значений переменных: 111, 110, 100, 011, 000. Этим комбинациям соответствуют следующие элементарные дизъюнкции: . Тогда СКНФ запишется в виде: .

Задачи.

1. Построить СДНФ и СКНФ для функции, таблица истинности которой имеет следующий вид:

x	y	z	f(x,y,z)
1	1	1	0
1	1	0	0
1	0	1	1
1	0	0	0
0	1	1	0
0	1	0	1
0	0	1	1
0	0	0	0