Тема 5. Основные модели управления запасами

Вопросы для обсуждения:

1. Основные модели управления запасами в цепях поставок.

2. Модель управления запасами с фиксированным размером заказа.

3. Модель управления запасами с фиксированным интервалом времени между запасами.

4. Сравнение основных моделей управления запасами.

5. Модели управления запасами в условиях изменяющегося спроса.

6. Модель управления запасами с установленной периодичностью пополнения запаса до постоянного уровня.

7. Модель управления запасами «максимум-минимум».

8. Управление запасами в условиях неопределенности.

Контрольные вопросы:

1. Объясните, почему основных моделей управления запасами две.

2. Поясните методику управления запасами с фиксированным размером заказа.

3. Перечислите исходные данные и расчетные параметры модели управления запасами с фиксированным размером заказа. Поясните, как проводится их расчет.

4. При решении каких задач логистики следует учитывать размер максимального желательного запаса?

5. Какова функция порогового уровня запаса?

6. В чем состоят преимущества и недостатки системы с фиксированным размером заказа?

7. Изложите методику управления запасами с фиксированным интервалом времени между заказами.

8. Перечислите исходные данные и расчетные параметры модели управления запасами с фиксированным интервалом времени между заказами. Поясните особенности их расчета.

9. В чем состоят преимущества и недостатки системы с фиксированным интервалом времени между заказами?

10. Почему использование основных моделей управления запасами ограничено?

11. Какие виды контроля остатков запаса требуются при работе с моделью управления запасами с фиксированным размером заказа и с моделью с фиксированным интервалом времени между заказами?

12. Каким должно быть соотношение между затратами на содержание запаса и издержками в результате дефицита для применения модели с установленной периодичностью пополнения запаса до постоянного уровня?

13. Изложите методику работы с моделью установленной периодичностью пополнения запаса до постоянного уровня.

14. Какие категории заказов используются в модели с установленной периодичностью пополнения запаса до постоянного уровня?

15. Назовите исходные параметры модели с установленной периодичностью пополнения запаса до постоянного уровня и расскажите об особенностях их определения.

16. Как определяется размер заказа в модели с установленной периодичностью пополнения запаса до постоянного уровня?

17. Каким должно быть соотношение затрат на содержание запаса и издержек дефицита для применения модели «минимум-максимум»?

18. Изложите методику работы модели «минимум-максимум».

19. Какие элементы модели управления запасами с фиксированным размером заказа использованы в модели «минимум-максимум»?

20. Назовите исходные параметры модели «минимум-максимум» и расскажите об особенностях их определения.

21. Что такое уровень обслуживания?

22. Как рассчитывается уровень обслуживания при учете числа позиций заказов?

23. Как рассчитывается уровень обслуживания при учете объемных показателей?

24. Как рассчитывается уровень обслуживания при учете нескольких характеристик удовлетворения потребности одновременно?

25. Объясните, как формируется частотный ряд отгрузок из статистического ряда учета движения запаса.

26. Почему при определении уровня обслуживания важна не только оценка вероятности удовлетворения потребности, но и оценка вероятного дефицита запаса?

27. Как определяется допустимый уровень дефицита?

28. Как годовой уровень обслуживания связан с уровнем обслуживания в период выполнения заказа?

29. Что такое функция нормальных потерь? Как она используется при управлении запасами?

30. Как рассчитывается дефицит запаса в период выполнения заказа?

31. Как годовой уровень дефицита связан с размером дефицита запаса в период выполнения заказа?

Задачи и упражнения:

1. Рассчитаем параметры модели управления запасами с фиксированным размером заказа (ФРЗ), если известно, что общий объем потребности равен 1440 ед., размер заказа – 36 ед., время выполнения заказа – 4 дня, а продолжительность возможной задержки поставки – 1 день.

Решение: представим расчет в виде таблицы 20:

Таблица 20 – Расчет параметров модели управления запасами ФРЗ

№ п/п	Показатель	Значение
1	Объем потребности, единиц	1440
2	Оптимальный размер заказа, единиц	36
3	Время выполнения заказа, дни	4
4	Возможная задержка поставки, дни	1
5	Ожидаемое дневное потребление, единиц/день	1440/360=4
6	Срок расходования заказа, дни	36/4=9
7	Ожидаемое потребление за время выполнения заказа, единиц	4*4=16
8	Максимальное потребление за время выполнения заказа, единиц	(4+1)*4=20
9	Страховой запас, единиц	1*4=4
10	Пороговый уровень запаса, единиц	16+4=20
11	Максимальный желательный запас, единиц	4+36=40

Первоначально объем запаса соответствует максимальному желательному уровню – 40 ед. Для характеристики движения запаса составим таблицу 21

Таблица 21 – Характеристика движения запаса при использовании модели ФРЗ при отсутствии задержек поставок

Дата	Поставка	Потребление	Заказ	Размер запаса на начало дня
1		4		40
2		4		36
3		4		32
4		4		28
5		4		24
6		4	36	20
7		4		16
8		4		12
9		4		8
10	36	4		4
11		4		40
12		4		36
13		4		32
14		4		28
15		4		24
16		4	36	20
17		4		16
18		4		12
19		4		8
20	36	4		4
21		4		40
22		4		36
23		4		32
24		4		28
25		4		24
26		4	36	20
27		4		16
28		4		12

Сделав предположение, что потребность в запасе постоянна и равна ожидаемому дневному уровню в 4 ед., на шестой день уровень запаса снизится до 20 ед., что соответствует пороговому уровню запаса. В соответствии с моделью ФРЗ в момент достижения порогового уровня требуется сделать заказ. С момента заказа и до момента оприходования на склад проходит 4 дня. На десятый день запас снижается до страхового уровня в 4 ед. В этот же день фиксируется приход заказа, который пополняет запас до максимального желательного уровня. Движение запаса при отсутствии задержек поставок проиллюстрировано на рисунке 4:

Рисунок 4 – Движение запаса при использовании модели ФРЗ при отсутствии задержек поставок

При наличии задержек поставок классическая модель ФРЗ имеет следующий вид (таблица 22).

Таблица 22 – Характеристика движения запаса при использовании модели ФРЗ при наличии задержек поставок

Дата	Поставка	Потребление	Заказ	Размер запаса на начало дня
1		4		40
2		4		36
3		4		32
4		4		28
5		4		24
6		4	36	20
7		4		16
8		4		12
9		4		8
10		4		4
11	36	4		0
12		4		32
13		4		28
14		4		24
15		4	36	20
16		4		16
17		4		12
18		4		8
19		4		4
20	36	4		0
21		4		32
22		4		28
23		4		24
24		4	36	20
25		4		16
26		4		12
27		4		8
28	36	4		4

Окончание таблицы 22

Дата	Поставка	Потребление	Заказ	Размер запаса на начало дня
29		4		36
30		4		32

Первая задержка поставки происходит на 10-й день. За время задержки запас снижается до 0 ед. к 11-му дню и пополняется до 36 ед. в результате учета пришедшей с задержкой поставки. Страховой запас в этом случае полностью исчерпывается. После поставки запас не восполняется до максимально желательного уровня, однако система не переходит в дефицитное состояние. Восстановление максимального желательного уровня запаса происходит после поступления поставки без задержки (рисунок 5).

Рисунок 5 – Движение запаса при использовании модели ФРЗ при наличии задержек поставки

2. Рассмотрим пример использования модели управления запасами с фиксированным интервалом времени (ФИВ). Если известно, что объем потребности равен 1440 ед., интервал между заказами – 10 дней, время выполнения заказа – 4 дня, время возможной задержки поставки – 1 день.

Решение: в таблице 23 представлены исходные данные и расчетные параметры модели ФИВ.

Таблица 23 – Расчет параметров модели ФИВ

№ п/п	Показатель	Значение
1	Объем потребности, единиц	1440
2	Интервал между заказами, дни	10
3	Время выполнения заказа, дни	4
4	Возможная задержка поставки, дни	1
5	Ожидаемое дневное потребление, единиц/день	1440/360=4
6	Ожидаемое потребление за время выполнения заказа, единиц	4*4=16
7	Максимальное потребление за время выполнения заказа, единиц	(4+1)*4=20
8	Страховой запас, единиц	1*4=4
9	Максимальный желательный запас, единиц	10*4+4=44

На момент начала наблюдения уровень запаса был равен максимально желательному (44 ед.). Первый заказ делается 1-го числа. При отсутствии задержек поставок классическая модель ФИВ имеет следующий вид (таблица 24).

Таблица 24 – Характеристика движения запаса при использовании модели ФИВ при отсутствии задержек поставок

Дата	Поставка	Потребление	Заказ	Размер запаса на начало дня
1		4	44-44+16-0=16	44
2		4		40
3		4		36
4		4		32
5	16	4		28
6		4		40
7		4		36
8		4		32
9		4		28
10		4		24
11		4	44-20+16-0=40	20
12		4		16
13		4		12
14		4		8
15	40	4		4
16		4		40
17		4		36
18		4		32
19		4		28
20		4		24
21		4	44-20+16-0=40	20
22		4		16
23		4		12
24		4		8

Окончание таблицы 24

Дата	Поставка	Потребление	Заказ	Размер запаса на начало дня
25	40	4		4
26		4		40
27		4		36
28		4		32
29		4		28
30		4		24

Размер заказа в модели ФИВ определяется по формуле:

Q_i = МЖЗ - Z_Ti. + ОП - Z_ti, (44)

где Q_i – размер заказа i, единиц; МЖЗ – максимальный желательный запас, единиц; Z_Ti – уровень текущего запаса при выдаче заказа i, единиц; Z_ti – объем запаса в пути, не полученного к моменту выдачи заказа i, единиц; ОП – ожидаемое потребление за время выполнения заказа, единиц.

Тогда в нашем примере размер заказа, сделанного в 1-й день, равен: 44-44+16-0=16 ед.

Этот заказ будет оприходован 5-го числа, пополнив запас до 28 единиц (после пополнения, произойдет потребление в 4 ед.). Следующий заказ делается через 10 дней (11-го числа) и согласно формуле (44) равен: 44-20+16-0=40 ед.

Этот заказ поступит на склад 15-го числа и пополнит запас до максимально желательного уровня (после этого также произойдет потребление в 4 ед.) и т.д.

На рисунке 6 представлена иллюстрация движения запасов в рассматриваемом примере.

Рисунок 6 – Иллюстрация движения запасов при использовании модели ФИВ при отсутствии задержек поставок

Если же 5-го числа произойдет задержка поставки и первый заказ придет только 6-го числа, и следующие два заказа (сделанный 11-го и 21-го числа) также придут с задержкой, а заказ, сделанный 31-го числа, придет вовремя, получим следующий характер движения запасов (таблица 25):

Таблица 25 –Характеристика движения запаса при использовании модели ФИВ при наличии задержек поставок

Дата	Поставка	Потребление	Заказ	Размер запаса на начало дня
1		4	44-44+16-0=16	44
2		4		40
3		4		36
4		4		32

Продолжение таблицы 25

Дата	Поставка	Потребление	Заказ	Размер запаса на начало дня
5		4		28
6	16	4		36
7		4		32
8		4		28
9		4		24
10		4		20
11		4	44-16+16-0=44	16
12		4		12
13		4		8
14		4		4
15		4		0
16	44	4		-4
17		4		36
18		4		32
19		4		28
20		4		24
21		4	44-20+16-0=40	20
22		4		16
23		4		12
24		4		8
25		4		4
26	40	4		0
27		4		36
28		4		32
29		4		28
30		4		24
31		4	44-20-16-0=40	20

Окончание таблицы 25

Дата	Поставка	Потребление	Заказ	Размер запаса на начало дня
32		4		16
33		4		12
34		4		8
35		4		4
36	40	4		0
37		4		36
38		4		32
39		4		28
40		4		24
41		4	44-20-16-0=40	20
42		4		16
43		4		12
44		4		8
45	40	4		4
46		4		40
47		4		36
48		4		32
49		4		28
50		4		24

На основе этой таблицы построим график (рисунок 7)

Рисунок 7 – Движение запаса при использовании модели ФИВ при наличии задержек поставок

Следует обратить внимание, что при первой задержке модель перешла в дефицитное состояние, однако следующий заказ восполнил уровень запаса таким образом, что последующие заказы, даже при наличии задержек были способны удовлетворить текущую потребность, однако восполнить страховой заказ не могли. Страховой запас был пополнен только после того, как заказ был доставлен без задержек.

3. На основе данных предыдущего примера проведем расчет параметров модели управления запасами с установленной периодичностью пополнения запаса до постоянного уровня (УПППУ) (таблица 26).

Таблица 26 – Расчет параметром модели УПППУ

№ п/п	Показатель
1	Объем потребности, единиц	1440
2	Интервал между заказами, дни	10

Окончание таблицы 26

№ п/п	Показатель
3	Время выполнения заказа, дни	4
4	Возможная задержка поставки, дни	1
5	Ожидаемое дневное потребление, единиц/день	1440/360=4
6	Ожидаемое потребление за время выполнения заказа, единиц	4*4=16
7	Максимальное потребление за время выполнения заказа, единиц	(4+1)*4=20
8	Страховой запас, единиц	1*4=4
9	Пороговый уровень запаса, единиц	16+4=20
10	Максимальный желательный запас, единиц	4+10*4=44

Иллюстрация движения запаса на примере изменения потребности при изучении модели УПППУ приведена в таблице 27.

Таблица 27 – Расчет параметров модели УПППУ при наличии задержек поставок и изменении потребления

Дата	Поставка	Потребление	Заказ	Размер запаса на начало дня
1		4	44-44+16-0=16	44
2		4		40
3		4		36
4		4		32
5	16	4		28
6		4		40
7		4		36
8		4		32
9		4		28
10		4	44-24+16-0=36	24

Продолжение таблицы 27

Дата	Поставка	Потребление	Заказ	Размер запаса на начало дня
11		9	44-20+16-36=4	20
12		6		11
13		7		5
14		4		-2
15	36+4	3		-6
16		9		31
17		9		22
18		8	44-13+16-0= 47	13
19		7		5
20		3	44-(-2)+16-47=15	-2
21		7		-5
22		9		-12
23	47	4		-21
24		5		22
25	15	6		17
26		3		26
27		8		23
28		9	44-15+16-0=45	15
29		2		6
30		9	44-4+16-45=11	4
31		4		-5
32	45	5		-9
33		3		31
34	11	9		28
35		8		30

Окончание таблицы 27

Дата	Поставка	Потребление	Заказ	Размер запаса на начало дня
36		4		22
37		6	44-18+16-0=42	18
38		10		12
39		7		2
40		6	44-(-5)+16-0=65	-5
41	42	4		-11
42		4		27
43		4		23
44	65	4		19
45		4		80

Плановые заказы делаются в 1, 10, 20, 30, 40 день, при этом 2, 3 заказы приходят с задержкой. Размер заказа определяется по формуле (44). По достижении порогового уровня делаются дополнительные заказы в размере, рассчитанном по формуле (44), при этом 2-й заказ приходит с задержкой.

Рисунок 8 – График движения запаса при использовании модели УПППУ при наличии задержек поставок

4. На основе данных примера 2 рассчитаем параметры модели «максимум-минимум» (таблица 28).

Таблица 28 – Расчет параметров модели «минимум-максимум»

№ п/п	Показатель
1	Объем потребности, единиц	1440
2	Интервал между заказами, дни	10
3	Время выполнения заказа, дни	4
4	Возможная задержка поставки, дни	1
5	Ожидаемое дневное потребление, единиц/день	1440/360=4
6	Ожидаемое потребление за время выполнения заказа, единиц	4*4=16

Окончание таблицы 28

№ п/п	Показатель
7	Максимальное потребление за время выполнения заказа, единиц	(4+1)*4=20
8	Страховой запас, единиц	1*4=4
9	Минимальный уровень запаса, единиц	16+4=20
10	Максимальный запас, единиц	4+10*4=44

Предположим, что первоначально запас находится на максимальном уровне. Плановые заказы выдаются на 1, 10, 20, 30, 40 день. Составим таблицу 29, характеризующую движение запаса по модели «максимум-минимум».

Таблица 29 – Характеристика движения запасов при использовании модели «максимум-минимум»

Дата		Поставка	Потреб ление	Заказ	Размер запаса на начало дня
1			4		44
2			4		40
3			4		36
4			4		32
5			4		28
6			4		24
7			4		20
8			4		16
9			4		12
10			4	44-8+16-0=52	8
11			9		4
12			6		-5
13			7		-11

Продолжение таблицы 29

Дата		Поставка	Потреб ление	Заказ	Размер запаса на начало дня
14			4		-18
15	52		3		-22
16			9		27
17			9		18
18			8		9
19			7		1
20			3	44-(-6)+16-0=66	-6
21			7		-9
22			9		-16
23			4		-25
24	66		5		-29
25			6		32
26			3		26
27			8		23
28			9		15
29			2		6
30			9	44-4+16-0=56	4
31			4		-5
32			5		-9
33			3		-14
34	56		9		-17
35			8		30
36			4		22
37			6		18
38			10		12
39			7		2
40			6	44-(-5)+16-0=65	-5

Окончание таблицы 29

Дата		Поставка		Потреб ление		Заказ			Размер запаса на начало дня

41		4		-11
42		4		-15
43		4		-19
44	65	4		-23
45		4		38

В 1-й день заказ не делается, так как уровень запаса выше порогового уровня. Плановый заказ 10-го числа делается, так как уровень запаса ниже порогового, а размер заказа рассчитывается по формуле (44). При этом он приходит с задержкой только 15-го числа.

Рисунок 9 – Движение запаса при использовании модели «максимум-минимум»

5. Даны следующие параметры удовлетворения заказов (таблица 30):

Таблица 30 – Исходные данные для определения уровня обслуживания

Дата	Подано заказов	В том числе по числу позиций в заказе								Отметка о выполнении
	Выполнено заказов	1	2	3	4	5	6	7	8	Срок	Объем
1.09	3				2	1
	2				2	0				2	2
2.09	5					3	2
	3					2	1			3	2
3.09	10			1	3		6
	10			1	3		6			9	9
4.09	9		1	1	3	3	1
	8		1	1	3	3	0			8	8
5.09	9				2	5	1	1
	8				2	4	1	1		7	8
6.09	10				2	2	5	1
	9				2	2	4	1		9	9
7.09	7						4	2	1
	6						4	2	0	5	6
8.09	8			2	1	2	3
	8			2	1	2	3			7	8
9.09	4				3	1
	4				3	1				4	4
10.09	9				2	3	4
	9				2	3	4			8	9
11.09	74	0	1	4	18	20	26	4	1
	67	0	1	4	18	17	23	4	0	62	65

Необходимо определить общий уровень обслуживания за представленный период, уровень обслуживания по количеству позиций, а также уровень обслуживания с учетом выполнения заказов по объему и по срокам.

Решение: уровень обслуживания за определенный период, можно проводить по формуле:

L=U/D*100% (45)

где L – уровень обслуживания запасом потребности в заданном периоде, доли; U – число удовлетворенных заказов в заданном периоде, единиц; D – общее число заказов в заданном периоде, единиц.

Так как всего за период подано 74 заказа, из них удовлетворено 67.Тогда уровень обслуживания составляет 67/74*100%=90,5%.

Для определения уровня обслуживания потребности с учетом числа позиций в каждом заказе, следует воспользоваться следующей формулой:

(46)

где L – уровень обслуживания запасом потребности в заданном периоде, доли; i – индекс числа позиций в заказе; k – число позиций запаса; N_i – число удовлетворенных заказов, имеющих i позиций в заказе; М_i – число поданных заказов, имеющих i позиций в заказе.

Тогда всего было подано заказов на: 1*0+2*1+3*4+4*18+5*20+6*26+7*4+8*1=378 позиций.

Из которых было удовлетворено заказов на: 1*0+2*1+3*4+4*18+5*17+6*23+7*4+8*0=337 позиций.

Таким образом, уточненный уровень обслуживания по числу позиций, согласно формуле (46): 337/378*100%=89,2%.

Для учета нескольких характеристик качества обслуживания запасом потребности следует перемножить полученные индексы:

(47)

где L – уровень обслуживания запасом потребности в заданном периоде, доли; U_v – количество удовлетворенных заказов по объему в заданном периоде, единиц; U_t – количество удовлетворенных заказов по сроку отгрузки в заданном периоде, единиц; D – общее количество заказов в заданном периоде, единиц.

В рассматриваемой задаче уровень обслуживания по объему и срокам выполнения заказов составляет, согласно формуле (47): (65/74)*(62/74)=0,88*0,84=74%

6. Представлен следующий частной ряд потребности (таблица 31):

Таблица 31 – Частотный ряд размера потребности

Объем потребности	Количество дней	Общий объем	Удельный вес	Нарастающий итог
0	30	0	12	12
1	70	70	28	40
2	62	124	24,8	64,8
3	40	120	16	80,8
4	27	108	10,8	91,6
5	6	30	2,4	94
8	11	88	4,4	98,4
16	1	16	0,4	98,8
20	3	60	1,2	100
Итого	250	616	100	-

Необходимо определить уровень запаса, обеспечивающий уровень обслуживания равный 98,8%.

Решение: первый столбец содержит данные по объему заказов, второй – о частоте поступления соответствующих заказов (другими словами, 30 дней объем потребности составлял 0 ед., 70 дней – 1 ед., 62 дня – 2 ед. и т.д.).

В столбце 3 определим общий объем потребности, умножив данные столбца 1 и соответствующие данные столбца 2.

Для того, чтобы определить удельный вес длительности возникновения потребности конкретного объема потребности необходимо количество дней, в течение которых возникала потребность разделить на общее количество дней в периоде и умножить на 100%: 30/250*100% = 12% времени действовала потребность в размере 0 ед., 70/250*100%=28% времени была потребность в размере 1 ед. и т.д.

Последний столбец рассчитывается нарастающим итогом и характеризует вероятность удовлетворения того или иного объема потребности: для того, чтобы уровень обслуживания составлял 12% необходимо иметь запас равный 0 единиц, для получения уровня обслуживания в 98,8% необходим неснижаемый уровень запаса равный 16 ед.

Дополнительная литература:

1. Бауэрсокс Дональд Дж., Клосс Дейвид Дж. Логистика: интегрированная цепь поставок. 2-е изд. / Пер. с англ. – М.: ЗАО «Олимп-Бизнес, 2006. – С.249-258.

2. Дыбская В.В., Зайцев Е.И., Сергеев В.И., Стерлигова А.Н. Логистика: учебник / В.В. Дыбская, Е.И. Зайцев, В.И. Сергеев, А.Н. Стерлигова; под ред. В.И. Сергеева. – М.: Эксмо, 2008. – С.627-656.

3. Канке А.А., Кошевая И.П. Логистика: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. – С.262-265.

4. Логистика: Учебник / Под ред. Б.А. Аникина: 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА–М, 2008. – С.236-250.

5. Неруш Ю.М. Логистика: учеб. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007. – С.247-269.

6. Стерлигова А.Н. Управление запасами в цепях поставок: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2009. – С.228-273., 276-331.

7. Сток Дж. Р., Ламберт Д.М. Стратегическое управление логистикой: Пер. с 4-го англ. изд. – М.: ИНФРА–М, 2005. – С.225-235.