Министерство здравоохранения Свердловской области фармацевтический Филиал ГБОУ СПО

“Свердловский областной медицинский колледж”

образовательная область естествознание

предмет математика.

Реферат

Исполнитель:

Мааданбекова А. М.

103 гр.

Руководитель:

Макшанцева А. В.

Г. Екатеринбург

2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.Введение

2. Условия существования определенного интеграла.

3. Приложение интегрального исчисления.

3.1 Общие понятия.

3.2 Интегральное исчисление в геометрии.

3.2.1 Вычисление длины дуги плоской кривой..

3.2.2 Вычисление объема тела.

3.2.3 Вычисление площади поверхности вращения.

3.2.4. Вычисление площадей плоских фигур…

 

4.Интегральное исчисление в биологии.

4.1 Численность популяции.

4.2.Биомасса популяции

4.3 Средняя длина пролета

5.Интегральное исчисление в экономике.

Заключение.

Литература.

ВВЕДЕНИЕ

Нахождение производной f’(x) или дифференциала df=f’(x)dx функции f(x) является основной задачей дифференциального исчисления. В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F’(х)=f(x) или F(x)=F’(x)dx=f(x)dx.. Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д.

Задача о нахождении площади

 Определить площадь P криволинейной трапеции ABCD (рис 1)

Разделим основание АВ нашей фигуры произвольным образом на части и проведем ординаты, со­ответствующие точкам деления; тогда криволинейная трапеция разобьется на ряд полосок. Заменим теперь приближенно каждую полоску некоторым пря­моугольником, основание кото­рого то же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски, скажем с крайней слева. Таким образом, криволинейная фигура заменится некото­рой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоуголь­ников.

Обозначим абсциссы точек деления через

X=  a < X< X < … < X < X < … < X  =  b.

Основание i – го прямоугольника равно разности X - X (ΔX). Высота равна y = f (X). Поэтому площадь i – го прямоугольника будет y ΔX = f (X) ΔX.

Просуммировав площади всех прямоугольников, получим приближенное значение площади P криволинейной трапеции

P= y ΔX  или  P=f (X) ΔX .

Погрешность этого равенства при безграничном убывании всех  ΔX стремится к нулю. Точное значение площади P получится как предел:

P=Lim y ΔX  или  P=Limf (X) ΔX,

В предположении, что все ΔX одновременно стремятся к 0.

Для обозначения пре­дельного значения  суммы  y ΔX Лейбниц и ввел символ ∫ ydx, где  ydx   напоминает типичное слагаемое суммы, а  ∫ есть сти­лизованная буква S - начальная буква латинского слова “Summa”. Так как площадь, представляющая это предельное значение, в то же время является первообразной для функции у, то тот же символ со­хранился и для обозначения первообразной функции. Впоследствии, с введением функционального обозначения, стали писать

∫ f(x)dx,

если речь идет о переменной площади, и

f(x)dx,

- в случае площади фиксированной фигуры ABCD, отвечающей из­менению х от а до b.

Определение.  Пусть функция f (X) задана в некотором про­межутке [a, b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления. Наибольшую из разностей ΔX = X - X  (i = 0, 1,2, . ..,n-1) обозна­чим через λ.

Возьмем в каждом из частичных промежутков [X, X] по про­изволу точку X = ξ

X ≤  ξ ≤  X (i = 0, 1, … , n-1)

и составим сумму

σ = f(ξ) ΔX

Пусть I конечный предел данной суммы

I = σ.

Конечный предел I суммы σ при называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от a до b и обозначается символом

I = f(x)dx

В случе существования такого предела функция f(x) называется интегрируемой в промежутке [a, b].

Числа a и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.

Приведенное определение принадлежит Риману (B.Riemann), коорый впервые высказал его в общей форме и исследовал область его применения.[7]

Историческая справка

Интеграл  (от лат. Integer - целый ) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Символ  введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.) . Вероятно, оно происходит от латинского integero , которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. ( Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление ( calculus integralis ), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее “примитивная функция”, которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как “начальный”: F(x)=  - начальная (или первоначальная, или первообразная) для функции f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределенным интегралом . Это понятие выделил Лейбниц , который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А  называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер.