§ 2.6. Система двух случайных величин

Совокупность двух случайных величин , рассматриваемых совместно, называется системой двух случайных величин [2].

Величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, …, числами, называют, соответственно, двумерными, трехмерными, …, -мерными.

Пример 2.31. Деталь, изготовленная на заводе проверяется контролером. Если контролируется два размера (длина и ширина), то рассматривается двумерная случайная величина , если контролируется три размера (длина, ширина и высота), то имеем трехмерную величину .

Система двух случайных величин геометрически интерпретируется как случайная точка с координатами на плоскости (рис. 13.а) или как случайный вектор, направленный из начала координат в точку , составляющие которого представляют собой случайные величины и (рис. 13.б). [2].

Рис. 13. Геометрическая интерпретация

системы двух случайных величин

Система трех случайных величин изображается случайной точкой или случайным вектором в трехмерном пространстве; система случайных величин – случайной точкой или случайным вектором в пространстве измерений.

§ 2.6.1. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, то есть пар чисел и их вероятностей . Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом.

Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей , а первый столбец – все возможные значения составляющей . В клетке, стоящей на пересечении «столбца » и «строки », указана вероятность того, что двумерная случайная величина примет значение .

Заметим, что, зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих.

Пример 2.32. Пусть дискретная двумерная случайная величина имеет следующее распределение вероятностей (см. табл.31).

Таблица 31

	2	18	20
3	0,01	0,4	0,3
9	0,2	0,07	0,02

Найти законы распределения составляющих и .

Решение. Сложив вероятности «по столбцам», получим вероятности возможных значений :

; .

Напишем закон распределения составляющих (табл.32).

Таблица 32

	2	18	20
	0,21	0,47	0,32

Контроль: 0,21+0,47+0,32=1.

Сложим вероятности «по строкам»:

; .

Запишем закон распределения составляющей (табл.33).

Таблица 33

	3	9
	0,71	0,29

Контроль: 0,71+0,29=1.

§ 2.6.2. Функция распределения двумерной случайной величины

Рассмотрим двумерную случайную величину (безразлично, дискретную или непрерывную). Пусть – пара действительных чисел. Вероятность события, состоящего в том, что примет значение, меньшее , и при этом примет значение, меньшее , обозначим через . Если и будут изменяться, то будет изменяться и , то есть есть функция от и [3].

Функцией распределения двумерной случайной величины называют функцию , определяющую для каждой пары чисел , вероятность того, что примет значение, меньшее , и при этом, примет значение, меньшее : .

Рис. 14. Геометрическая интерпретация функции распределения двумерной случайной величины

Геометрически это равенство можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная точка попадет в бесконечный квадрант с вершиной , расположенный левее и ниже этой вершины (рис. 14).

Функция распределения обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству:

.

Свойство 2. есть неубывающая функция по каждому аргументу, то есть

, если ;

, если .

Свойство 3. Имеют место предельные соотношения:

1) , 2) ,

3) , 4) .

Свойство 4. а) При функция распределения системы становится функцией распределения, составляющей :

.

б) При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей :

.

Пример. Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая двумерной случайной величины примет значение и при этом составляющая примет значение , если известна функция распределения системы:

.

Решение. По определению функции распределения двумерной случайной величины .

Пусть , , получим искомую вероятность: