§ 2.5.2. Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которая описывается плотностью

.

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: и . Вероятностный смысл этих параметров:

- есть математическое ожидание,

- среднее квадратическое отклонение нормального распределения [3,4].

Если и , то нормальное распределение называют нормированным.

Плотность нормированного распределения равна

.

Эта функция табулирована.

Функция распределения общего нормального распределения равна:

,

а функция нормированного распределения равна

.

Функция табулирована (приложение 2).

Заметим, что

.

Причем называют квантилью нормированного нормального распределения. Заметим, что нормальному распределению подчиняется наработка до отказа многих восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий [7].

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Он представлен на рис. 7 ( , ).

Рис. 7. График нормальной кривой

Заметим, что параметр « » не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси : вправо, если « » возрастает, и влево, если « » убывает.

С возрастанием параметра максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, то есть сжимается к оси ; при убывании нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси .

Пусть случайная величина распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу , вычисляется, используя функцию Лапласа:

,

которая затабулирована (приложение 2).

Тогда

. (20)

Пример 2.26. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 12 и 3. Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале (14,16).

Решение. Воспользуемся формулой

.

В данном случае , тогда

.

Пример 2.27. Пусть случайная величина, представляющая собой предел текучести стали, замерена в некоторой партии. Известно, что предел текучести подчиняется нормальному распределению со средним значением МПа и средним квадратическим отклонением МПа.

Найти вероятность того, что значение предела текучести заключено в интервале МПа и МПа.

Решение. Воспользуемся формулой (20) и приложением 2, получим

Ответ: .

§ 2.5.3. Распределение «хи-квадрат»

Пусть – нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение – единице. Тогда сумма квадратов этих величин

распределена по закону («хи-квадрат») с степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы .

В приложении 3 представлены критические точки распределения «хи-квадрат».

Плотность этого распределения

,

где – гамма-функция; в частности,

.

Отсюда видно, что распределение «хи-квадрат» определяется одним параметром – числом степеней свободы .

С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Заметим, что у случайной величины, имеющей распределение «хи квадрат», математическое ожидание равно , а дисперсия , то есть она имеет следующие числовые характеристики (табл. 25).

Таблица 25

Математическое ожидание
Дисперсия
Коэффициент вариации
Асимметрия
Эксцесс
Начальные моменты	, , ,
Центральные моменты	,

На рис. 8 представлены графики [1] плотности вероятности распределения.

Рис. 8. Плотность вероятности -распределения

Заметим, что точками перегиба функции плотности являются точки (при условии, что – действительное положительное число).

Следует отметить, что при кривая несимметрична, а при уже приближается к симметричной. При кривая приближается к кривой нормального распределения.

Свойства - распределения [1]

1. Если – независимые стандартные нормальные случайные величины, то случайная величина имеет -распределение с степенями свободы.

2. - распределение с степенями свободы совпадает с гамма - распределением с параметром масштаба и параметром формы .

3. Случайная величина , имеющая - распределение с степенями свободы, и случайная величина , имеющая гамма-распределение с параметром масштаба и параметром формы , связаны соотношением ~ .

4. Сумма независимых случайных величин , имеющих -распределение с степенями свободы соответственно имеет -распределение с степенями свободы.

5. Независимые случайные величины и , имеющие -распределение с и степенями свободы, соответственно связаны со случайной величиной , имеющей -распределение Фишера-Снедекора с и степенями свободы, соотношением

~ .

6. Случайная величина имеет такое же распределение, как и случайная величина , то есть ~ .

7. Случайная величина , имеющая -распределение с степенями свободы, связана со случайной величиной , имеющей распределение Стьюдента с степенями свободы, и независимой от стандартной нормальной случайной величиной следующим соотношением

~ .

8. При четном случайная величина связана со случайной величиной , распределенной по закону Пуассона с параметром , соотношением

.

Этому соотношению эквивалентны соотношения

, , целое;

, .

Здесь – интеграл вероятностей -распределения; – функция распределения Пуассона с параметром ; .

9. При случайная величина сходится к стандартному нормальному распределению. Однако эта сходимость довольно медленная. Гораздо быстрее сходится к стандартному нормальному распределению случайная величина .

Распределение нашло широкое применение при проверке статистических гипотез о виде распределения случайной величины , а также в теории надежности – при определении доверительных границ [7].

Распределение хи-квадрат может быть определено как сумма квадратов -независимых случайных величин с нулевым средним значением и единичным средним квадратическим отклонением. На рис. 1. показаны формы кривых распределения.

Значения квантилей -распределения представлены в приложении 3, заимствованные из [7].

Пример 2.27 [7]. При испытаниях системы электроавтоматики распределение отказов по интервалам наработки представлены в табл. 26. Определить по критерию согласия принадлежность совокупности данного распределения отказов экспоненциальному закону с параметром и достоверностью .

Таблица 26

Интервал наработок до отказа, ч	5-10	10-20	20-30	30-40	40-45	45-50
Число отказов в интервале	10	8	6	6	5	5

Для расчета квантили -распределения составим дополнительную табл.27.

Таблица 27

Интервал наработок до отказа, ч	5-10	10-20	20-30	30-40	40-45	45-50	Приме-чание
Число отказов в интервале	10	8	6	6	5	5
Функция отказов (теоретическая)	0,98	0,999	0,999	0,999	0,98	0,98
	9,8	7,999	5,994	5,994	4,9	4,9
	0,004	0,000001	0,000006	0,000006	0,002	0,002	Сумма 0,008

Здесь – длина интервала.

Так как предполагаемый теоретический закон распределения наработки до отказа экспоненциальный, он имеет один параметр. Тогда число степеней свободы равно разности между числом интервалов и числом параметров распределения, то есть .

При достоверности и числе степеней свободы по таблице приложения 3 находим квантиль: .

Полученное значение .

Это свидетельствует о том, что гипотеза о принадлежности статистического распределения теоретическому (экспоненциальному) подтверждается с вероятностью 0,99.

Ответ: статистические данные подтверждают экспоненциальный закон распределения наработки до отказа.