§2.4.9. Функция двух случайных аргументов

Если каждой паре возможных значений случайных величин и соответствует одно возможное значение случайной величины , то называют функцией случайных аргументов и : [2,3].

Задача нахождения закона распределения функции по известным распределениям слагаемых часто встречается на практике. Например, если – погрешность показаний измерительного прибора (распределена нормально), – погрешность округления показаний до ближайшего деления шкалы (распределена равномерно), то возникает задача – найти закон распределения суммы погрешностей .

Рассмотрим два случая:

1. Пусть и – дискретные независимые случайные величины. Для того, чтобы составить закон распределения функции , надо найти все возможные значения и их вероятности.

Пример 2.23. Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями:

	1	2			3	4
	0,4	0,6			0,2	0,8

Составить распределение случайной величины .

Решение.

Возможные значения есть суммы каждого возможного значения со всеми возможными значениями :

; ; ; .

Найдем вероятности этих возможных значений. Для того, чтобы , достаточно, чтобы величина приняла значение и величина – значение . Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,4 и 0,2.

Аргументы и независимы, поэтому события и независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (то есть вероятность события ) по теореме умножения равна .

Аналогично найдем

;

;

.

Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий , (табл.23).

Таблица 23

	4	5	6
	0,08	0,44	0,48

Контроль: .

2. Пусть и – непрерывные случайные величины.

Известно, что если и независимы, то плотность распределения суммы (при условии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале одной формулой), может быть найдена с помощью равенства

(16)

либо с помощью равносильного равенства

, (17)

где и – плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то находят по формуле , (18)

либо по равносильной формуле

. (19)

Плотность распределения суммы независимых случайных величин называют композицией.

Закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон (отличающийся, вообще говоря, параметрами). Нормальный закон обладает свойством устойчивости: композиция нормальных законов также имеет нормальное распределение (математическое ожидание и дисперсия этой композиции равны соответственно суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых). Например, если и – независимые случайные величины, распределенные нормально с математическими ожиданиями и дисперсиями, соответственно равными , то композиция этих величин (то есть плотность вероятности суммы ) также распределена нормально. Причем математическое ожидание и дисперсия композиции соответственно равны .

Пример 2.24. Независимые случайные величины и заданы плотностями распределений: ;

.

Найти композицию этих законов, то есть плотность распределения случайной величины .

Решение. Возможные значения аргументов неотрицательны, поэтому воспользуемся формулой (18).

.

Заметим, что здесь , так как и, по условию, возможные значения и – неотрицательны.