§ 2.1.4. Непрерывные случайные величины. Функция распределения
Случайную величину
будем называть непрерывной,
если все ее возможные значения целиком
заполняют некоторый конечный или
бесконечный промежуток
числовой оси. Предполагается, что при
каждом испытании случайная величина
принимает одно и только одно значение
.
Заметим, что дискретные и непрерывные
случайные величины не исчерпывают все
типы случайных величин.
Для характеристики непрерывной случайной величины вводят функцию распределения
,
(3)
называемую интегральным законом распределения.
Если значения
случайной величины
рассматривать как точки числовой оси
,
то
представляет собой вероятность события,
состоящего в том, что наблюдаемое
значение случайной величины
принадлежит интервалу
,
то есть находится левее точки
.
Этот интервал зависит от правого конца,
и поэтому, естественно, вероятность
является функцией от
,
определенной на оси
.
Функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , то есть
.
Функция распределения обладает следующими свойствами:
I.
Функция
есть неубывающая функция аргумента
,
то есть если
,
то
.
II.
Так как
– вероятность, то справедливо неравенство
.
III.
.
Таким образом,
вероятность того, что случайная величина
примет значение, принадлежащее промежутку
,
равна приращению ее функции распределения
на этом промежутке.
В дальнейшем
случайную величину
будем называть непрерывной лишь в том
случае, когда ее функция распределения
непрерывна на оси
.
Теорема. Вероятность
(до опыта) того, что случайная величина
примет заранее указанное строго
определенное значение
равно нулю.
Следствие. Для непрерывной случайной величины справедливы равенства:
(4)
,
(5)
где
– ее функция распределения.
Предположим теперь, что для непрерывной случайной величины ее функция распределения имеет непрерывную производную:
.
(6)
Функцию
называют плотностью
вероятности
(для данного распределения) или
дифференциальным
законом распределения
случайной величины
.
Заметим, что плотность вероятности представляет собой отношение вероятности попадания точки в бесконечно малый промежуток к длине этого промежутка [5].
Так как плотность
вероятности
является производной неубывающей
функции
,
то она неотрицательна:
.
В отличие от вероятности, плотность
вероятности может принимать сколь
угодно большие значения.
Так как является первообразной для , то на основании формулы Ньютона-Лейбница имеем:
.
Отсюда получаем
.
(7)
Геометрически
(рис.1) эта вероятность представляет
собой площадь
криволинейной трапеции, ограниченной
графиком плотности вероятности
,
осью
и двумя ординатами
и
.
Рис.1. Геометрическое представление плотности распределения
Полагая
и
,
получаем достоверное событие
,
вероятность которого равна единице.
Следовательно,
.
(8)
Полагая в формуле
(4)
,
и обозначая для ясности переменную
интегрирования
другой буквой, например
(это законно для определенного интеграла),
получаем функцию
распределения:
.
(9)
Пример 2.10. Дискретная случайная величина задана таблицей распределения (табл. 5):
Таблица 5
|
1 |
3 |
9 |
|
0,2 |
0,7 |
0,1 |
Найти функцию распределения и построить ее график.
Решение. Если
,
то
(по свойству функции распределения).
Если
,
то
,
так как
может принимать только значение 1 с
вероятностью 0,2.
Если
,
то
.
Так как может принять значение 1 с вероятностью 0,2 и значение 3 с вероятностью 0,7, следовательно, по теореме сложения вероятностей несовместных событий .
Если
,
то
.
Итак, искомая функция распределения имеет вид
График этой функции представлен на рис.2.
Рис.2. График функции распределения
Пример 2.11.
Непрерывная случайная величина
задана плотностью распределения
в интервале
;
вне этого интервала
.
Найти вероятность того, что
примет значение, принадлежащее интервалу
.
Решение. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , определяется равенством
