158

Предисловие

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» изучается на 3 курсе. Теоретической базой для ее освоения являются материалы дисциплины « Математика ».

Данное учебное пособие состоит из 2-х частей.

В первой части рассматриваются основные понятия теории вероятностей и математической статистики, которые используются в методах, направленных на анализ, создание и применение сложных систем в различных сферах деятельности.

Указанная дисциплина является основой ряда дисциплин: «Теория и практика моделирования сложных систем», «Методы оценки эффективности функционирования сложных систем» и других.

Учебное пособие предназначено для студентов третьего курса факультета Системного анализа и естественных наук, изучающих дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика».

Введение

Теория вероятностей появилась в XV веке, в эпоху Возрождения, когда азартные игры – игральная кость, карты – были особенно распространены. Первыми выдающимися учеными в этой области науки были: Л. Пачоли (1445-1510), Н. Тарталья (1449-1557) и Дж. Кардано (1501-1576). Даже такие крупные ученые, как Г. Галилей (1564-1642), Б. Паскаль (1623-1662), П. Ферма (1601-1665) и Ч. Чейгенс (1629-1695), занимались проблемами азартных игр. Развитие торговли, возросшее значение выигрыша и риска в торговле, страхование, возникающее в связи с развитием судоходства, также способствовали созданию теории вероятностей.

Важным этапом истории теории вероятностей является посмертное издание книги “Ars conjectandi” (Искусство догадок) Я. Бернулли (1654-1705). В этой книге дается общее представление о теории вероятностей, открывается закон о больших числах и обосновывается математическая теория вероятностей. Позже Муавром (1667-1751), Байесом (1702-1761) и Лапласом (1749-1827) были получены такие результаты, которые широко применяются и в наши дни. Многое сделали в разработке теории вероятностей такие ученые, как К.Ф. Гаусс (1777-1855), А.М. Лежандр (1752-1833) и Д. Пуассон (1781-1840). Дальнейшее развитие теория вероятностей получила только во второй половине XIX века в работах великих русских математиков П.Л. Чебышева (1821-1894), А.А. Маркова (1856-1922) и А.М. Ляпунова (1857-1918). Начало математической статистике было положено в Англии в начале XX века.

Долгое время теория вероятностей не считалась равноценной другим областям математики, так как не были в достаточной степени выяснены ее принципиальные основы. Это обстоятельство тормозило развитие естественных наук, особенно развитие современной физики.

Огромный вклад в аксиоматическое построение теории вероятностей был внесен математиком А.Н. Колмогоровым (год рождения 1902) в 1933 г. Его достижения в разработке теории вероятностей сделали ее одной из важнейших глав математики, результаты которой применяются в различных областях математики и, наоборот, многие выводы математической дисциплины находят применение в теории вероятностей.

В последние года круг применения теории вероятностей значительно расширился в связи с развитием атомной физики, техники, связи и автоматизации. Результаты теории вероятностей широко применяются в решении как теоретических, так и практических задач, связанных с работой электронно-вычислительных машин.

В последнее время теория вероятностей продолжает занимать видное положение. Кроме упомянутого выше А.Н. Колмогорова, должны быть названы, прежде всего, имена С.Н. Бернштейна, А.Я. Хинчина, Б.В. Гнеденко и А.Н. Вендель.

В частности, в области математической статистики наиболее активными представителями являются А.Н. Ширяев, Р.Ш. Липцер и М.П. Ершов.

В теории вероятностей обычно исходят из того, что известны или вероятность некоторых более простых событий, или функции распределения некоторых случайных переменных. При подбрасывании монеты, например, нам известно (как предварительное условие), что подбрасываемая монета имеет симметричную форму. Но это не доказано нами. Может возникнуть вопрос: «Имеет ли подбрасываемая монета действительно симметричную форму?». Симметричность монеты может быть проверена применением некоторого физического метода. Если данная монета подбрасывается много раз подряд и орел выпадает примерно в половине всех экспериментов, то можно предположить, что монета является симметричной. Чтобы высказать такое предположение, необходимо определить, что подразумевается под термином «монета подбрасывается много раз» и «примерно в половине». С помощью математической статистики можно ответить на эти вопросы, так как ее задачей является определение на основе результатов экспериментов вероятности, некоторых событий, функции плотности случайных переменных, математического ожидания, дисперсии и других характерных черт. Но бывает (небольшая вероятность), что монета выпадет на орел много раз подряд; в таком случае принимается решение: монета не имеет симметричную форму. Но может случиться, что монета несимметричной формы выпадает на орел именно в половине первой части экспериментов и, в этом случае, также принимается ошибочное решение. На основе применения методов математической статистики можно утверждать о правильности решения с большой вероятностью.