6. Рівняння лінії на площині. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Нехай довільна пряма l не паралельна осі Оу. Позначимо точку перетину прямої l з віссю Оу через точку В , а кут між додатнім напрямом Ох і прямою l через . Кут  відраховують проти годинникової стрілки і називають кутом нахилу прямої l до осі Ох.

Знайдемо рівняння прямої l, якщо М (х;у) довільна точка прямої l з поточними координатами (х;у), то з прямокутного трикутника ВNM маємо, що tg= . Величину к= tg називають кутовим коефіцієнтом прямої l. Тоді у=кх+в (1).

Рівняння (1) називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом к, в – початкова ордината.

Якщо в=0 – пряма проходить через

к=0 – пряма паралельна осі Ох,

к=в=0 – вісь Ох.

7. Загальне рівняння прямої та його дослідження.

Ах+Ву+С=0 (1) – загальне рівняння прямої на площині. Дослідимо це рівняння.

1. А , В0, С0, тоді Ах+Ву=С або

; - рівняння прямої у відрізках на осях. а=-А; в= .

2. А=0, Ву+С=0 – пряма паралельна осі Ох.

3. В=0, Ах+С=0 – пряма паралельна осі Оу.

4. С=0, Ах+Ву=0 – пряма проходить через початок координат.

5. А=С=0, Ву=0 – вісь Ох.

6. В=С=0, Ах=0 – вісь Оу.

8. Рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки.

Нехай задано 2 точки М₁(х₁;у₁) і М₂(х₂;у₂). Використаємо рівняння у-у₀=к(х-х₀), враховуючи, що точки М₁ і М₂ належать даній прямій:

у-у₁=к(х-х₁) у₂-у₁=к(х₂-х₁).

Виключаючи з даної системи параметр к одержуємо

- рівняння прямої, яка проходить через 2 точки.

9. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.

Нехай маємо дві прямі l₁ i l₂, які задані рівнянням: у=к₁х+в₁, у=к₂х+в₂.

Нехай  - кут між прямими l₁ і l_2. Оскільки  дорівнює ₂-₁, то tg= tg ₂-₁) =

tg= (*)

₁=-.

З формули (*) можна отримати відношення між кутовими коефіцієнтами паралельних і перпендикулярних прямих. Якщо l₁//l₂, =0, tg=0, то к₁=к₂ // l₁і l_2,

якщо l₁ перпендикулярна l₂, =

к₂= або к₁*к₂=-1 перпендикул. l₁і l_2,

10. Відстань від точки до прямої.

Нехай пряма задана загальним рівнянням Ах+Ву+С=0. Необхідно знайти відстань від точки М₀(х₀;у₀) до цієї прямої. Відстань знаходимо за формулою:

d=

11. Означення і рівняння кола.

Колом називають множину точок площини, відстань яких від заданої точки площини (центра кола) дорівнюють сталому числу – радіусу.

(х-)²+(у-)²=R² (1)

Рівняння (1) називається канонічним рівнянням кола, де  - координати центра кола, а R – радіус. Якщо розкриємо дужки, то отримаємо загальне рівняння кола:

х²+у²+Ах+Ву+С=0.

12. Означення еліпса. Канонічне рівняння еліпса.

Еліпсом називається множина всіх точок площини, сума відстаней яких від 2 даних точок площини, які називаються фокусами є величина стала і більша від відстані між фокусами.

Канонічне рівняння еліпса:

.

13. Властивості дослідження форми еліпса. Ексцентриситет, директриси еліпса. Фокальні радіуси точки.

Встановимо властивості і дослідимо форму еліпса. Оскільки рівняння (1) містить тільки члени з парними степенями х і у, то еліпс симетричний відносно осей Ох і Оу, а також початку координат. Точку О (0;0) називають центром еліпса.

Для встановлення форми еліпса достатньо дослідити ту його частину, яка розміщена в одному координатному куті. Еліпс перетинає осі координат в точках А₁(-а;0), А₂(а;0), В₁(0,в), В₂(0;-в). Ці точки називають вершинами еліпса.

Величина А₁А₂=2а, В₁В₂=2в називаються великою і малою осями еліпса. Відповідно а, в називаються великою і малою півосями.

Весь еліпс уміщується в прямокутник зі сторонами 2а і 2в. Еліпс дотикається до прямокутника своїми вершинами. Якщо а=в, то (1) має вигляд: х²+у²=а², тобто отримуємо рівняння кола. Отже, коло є окремим випадком еліпса, у якого фокуси збігаються з його центром. Міра відхилення еліпса від кола характеризується величиною , яка називається ексцентриситетом еліпса і дорівнює: = , де с – є половина фокальної відстані F₁F₂. Для еліпса 01, оскільки для еліпса 2а2с, тому для еліпса ексцентриситет буде завжди менше 1. Якщо =0, то в=а і еліпс перетворюється в коло. Якщо  наближається до 1, то відношення зменшується, тобто еліпс все більше розтягується по осі Ох.

Параметри еліпса а,в,с а²=в²+с².

Нехай М(х;у) довільна точка еліпса з фокусами

F₁ і F₂. Відстані F₁М=r₁ i F₂M=r₂ називаються фокальними радіусами точки М. Із означення випливає: r₁+ r₂ =2а.

Прямі х= - називаються директрисами еліпса.

Відношення фокальних радіусів до вільної точки еліпса до відстаней цієї точки до відповідних директрис є величина стала і дорівнює ексцентриситету еліпса: