Матричное представление графа
Для алгебраического задания граф удобно представлять в виде матриц. Для примера возьмем граф G , представленный на рис.5.
Рис.5. Пример графа представления
Матрица смежности
Матрица смежности графа G полностью определяет структуру графа. Она обозначается как =[ ai j ] , где
ai j=1 , если в G существует дуга ( xi , x j ), ai j=0 , если в G отсутствует дуга (xi , x j ).
Таким образом, для графа G на рис.5 матрица смежности будет равна
| |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
x2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
= x3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 . |
x 4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
x5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
x6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
9 из 19
Матрица инциденций
Матрица инциденций графа G с n вершинами и m дугами, обозначается как=[ bi j ] . Она имеет размерность n×m и определяется как
bi j=1 , если xi — начальная вершина дуги a j ,
bi j=−1 , если xi — конечная вершина дуги aj ,
bi j =0 , если xi не инцидентна aj или aj — петля.
Таким образом, для графа G на рис.5 матрица инциденций будет равна
| |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
a9 |
a10 |
x1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
x2 |
−1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
−1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
=x3 |
0 |
0 |
−1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 . |
x4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
−1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
−1 |
x5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
−1 −1 |
1 |
|
x6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
−1 1 |
0 |
0 |
|
Так как каждая дуга инцидентна двум различным вершинам, кроме случая, когда она образует петлю, каждый столбец матрицы инциденций либо содержит и << 1 >> и << −1 >>, либо все его элементы равны << 0 >>.
Для неориентированного графа матрица инциденций определяется аналогично, за исключением того, что << −1 >> заменяется на << 1 >>.
Матрицы достижимостей и контрадостижимостей
Матрица достижимостей =[ri j ] определяется как
ri j=1 , |
если вершина x j достижима из xi , |
ri j =0 , |
в противном случае. |
Множество вершин R( xi ) графа G , достижимых из заданной вершины xi , состоит из таких x j , для которых элемент ri j в матрице равен << 1 >>. Все диагональные
10 из 19
элементы |
равны << 1 >>, так как каждая вершина достижима из себя самой с |
|||||
помощью пути длины 0 . Матрица достижимостей для графа G на рис.5 равна |
||||||
| |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
x2 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
= x3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 . |
x4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
x5 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
x6 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Матрица контрадостижимостей (или матрица обратных достижимостей)
=[ qi j ] определяется как
ri j=1 , |
если вершина xi достижима из x j , |
ri j =0 , |
в противном случае. |
Таким образом, контрадостижимое множество Q( xi ) графа G — это множество таких вершин, что из любой вершины этого множества можно достигнуть вершины
xi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определений матриц |
и |
следует, что матрица контрадостижимостей |
||||||
равна транспонированной матрице достижимостей T : |
|||||||||
|
Матрица контрадостижимостей |
= T . . |
для графа G на рис.5 равна |
||||||
| |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
|
|
x1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
x2 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
= x3 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 . |
|
|
|
x4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
x5 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
x6 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
11 из 19