Теоретическая часть Вычисление вероятностей независимых событий

Пример 1: Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих автомата – сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна  p₁ = 0,95, второй – p₂ = 0,9. Найти вероятность события А – при аварии поступит сигнал хотя бы от одного сигнализатора.

Решение: Событие  А  может осуществиться, если произойдет одно из следующих событий: сработает первый сигнализатор и одновременно не сработает второй – А_{1 2}; сработает второй сигнализатор и одновременно не сработает первый –  ₁А₂; одновременно сработают оба сигнализатора –А₁А₂, т.е.  А = А_{1 2} +  ₁А₂ + А₁А₂. Вероятности противоположных событий   ₁  и   ₂  соответственно равны  q₁ = 1 – p₁ = 0,05  и  q₂ = 1 – p₂ = 0,1. События, составляющие  А,  несовместны (не могут произойти одновременно), поэтому вероятность события  А  равна

Р(А) = Р(А_{1 2}) + Р( ₁А₂) + Р(А₁А₂) = p₁·q₂ + q₁·p₂ + p₁· p₂ = 0,995.

2–й способ: Событие     противоположное  А  произойдет, если одновременно не сработают оба сигнализатора –  _{1 2}. Тогда вероятность события  А  равна        

Р(А) = 1 – Р( _{1 2})  = 1 – q₁·q₂ = 1 – 0,005 = 0,995

Тема: «Дискретная и непрерывная случайные величины. Способ задания дискретной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины»

Теоретическая часть Тема "Дискретные случайные величины"

 

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблично, в виде формулы (аналитически) и графически.

 

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числа, которые описывают случайную величину суммарно, называют числовыми характеристиками случайной величины. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: , где   – возможные значения случайной величины  , а   – соответствующие вероятности. Замечание. Вышеприведенная формула справедлива для дискретной случайной величины, число возможных значений которой конечно. Если же случайная величина имеет счетное число возможных значений, то для нахождения математического ожидания используют формулу: , причем это математическое ожидание существует при выполнении соответствующего условия сходимости числового ряда в правой части равенства. Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.