Тема: «Вычисление предела функции»

Теоретическая часть

Правила вычисления предела функции на бесконечности

П равило 1. Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение:

Правило 2. Если , , то

1. Предел суммы равен сумме пределов:

2. Предел произведения равен произведению пределов:

3. Предел частного равен частному пределов (если с≠0):

4. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Пример 1. Вычислите

Р ешение:

Определение.

Ф ункцию y= f (x) называют непрерывной в точке x=a, если выполняется соотношение

Если выражение f (x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических и обратных тригонометрических выражений, то функция y= f (x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (x)

Пример 2. Вычислить

Решение:

В ыражение определено в любой точке x, в частности в точке x=1. Следовательно, функция непрерывна в точке x=1, а поэтому предел функции при стремлении x к 1 равен значению функции в точке x=1:

П ример 3. Вычислить

Решение:

Пример 4. Вычислить

Решение:

Ф ункция в точке x=-3 не определена. Поэтому числитель и знаменатель надо разложить на множители:

Пример 5. Вычислить

Решение:

Замечательные пределы

1. 

2. 

Пример 6. Вычислить

Решение:

Тема: «Вычисление производной функции»

Теоретическая часть

Правила дифференцирования:

1. 

2. , где С - число

3. 

4. 

Производная сложной функции:

Пример 1 . Найти производную функции

Решение: Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, получим:

Пример 2 . Найти производную функции

Воспользуемся формулой производной сложной функции:

.

Пример 3 . Найти производную функции

Решение:

.

Тема: «Условия монотонности функции. Необходимое и достаточное условие экстремума»

Теоретическая часть

Пример 1:

Пример 2: Найти экстремум функции .

Найдем производную функции. Она равна . Приравниваем производную к нулю и находим критическую точку . Чтобы найти ординату этой точки, подставим в данную функцию и запишем вершину параболы C(1; 4). Ось симметрии проходит через C параллельно оси (рис. 3). Пересечение параболы с осью : ; , т.е. A(0; 5). Симметричная ей точка A1(2; 5).

Пример 3: Найти точки экстремума и интервалы монотонности функции .

Находим первую производную:

и приравниваем ее к нулю . Так как , то и . Критическая точка делит на два интервала монотонности, при переходе через точку меняет знак с на . Следовательно, - точка минимума.

Тема: «Исследование функции одной переменной и построение графика. Асимптоты графика функции»

Теоретическая часть

Схема исследования функций:

• Найти область определения функции.

• Установить, не является ли функция четной, нечетной, периодической.

• Найти точки разрыва и исследовать пределы функции в этих точках.

• Найти точки экстремума и значения функции в этих точках.

• Исследовать интервалы возрастания и убывания функции.

Для исследования функции на возрастание и убывание находят производную ƒ΄(х) функции ƒ(х) определяют ее знак. (Если ƒ΄(х) 0, то ƒ(х) возрастает; если ƒ΄(х) 0, то ƒ(х) убывает)

• Найти точки перегиба.

• Исследовать график функции на выпуклость и вогнутость (f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f ''(x) > 0 – вогнутый.)

• Найти точки пересечения с осями координат.

• Определить промежутки знакопостоянства функции, т.е. промежутки, на которых ƒ(х) 0 и ƒ(х) 0.

• Построить график заданной функции.

Пример 1. Исследовать функцию у = и построить ее график. Решение. Область определения функции – вся числовая ось, кроме точки х = 1, поэтому, D(у) = (- 1) (1; + ). * Так как у (-х) = = - , то функция ни четная и ни нечетная. * Так как у(х + Т) = = ни при каком Т 0, то данная функция не периодическая. * Строим прямую х = 1. В случае, когда х приближается к 1 слева, значения функции стремятся к – , а в случае, когда х приближается к 1 справа, значения функции стремятся к + . Так как у = + = х + 1 + , то при |х| график этой функции приближается к графику функции у_{1 =} х +1. * Находим производную у΄ = = и из уравнения - 2х – 3 = 0 определяем критические точки: х₁ = - 1 и х₂ = 3. Так как для точек интервала ( - ; - 1) производная имеет знак «+», а для точек интервала ( - 1; 1) производная имеет знак «-», то точка х₁ = -1 является точкой максимума функции. Аналогично убеждаемся, что точка х₂ = 3 является точкой минимума функции. * Так как уравнение х² + 3 = 0 не имеет действительных корней, то график функции не пересекает ось 0х. * На интервале (- ; - 1) функция возрастает, на интервале ( - 1; 1) – убывает, на интервале (1; 3) вновь убывает, на интервале (3; + ) – возрастает. Найдем точки графика при х₁ = - 1 и х₂ = 3; А ( - 1; - 2); В (3; 6). * Найдем точки пересечения графика функции с осью 0у: у(0) = - 3. * Построим график исходной функции.

Тема: «Вычисление неопределенных интегралов»

Теоретическая часть

Неопределенный интеграл функции у = f(х) – это совокупность всех первообразных функций F(х) + С для функции f(х). Обозначается символом = F(х) + С, где знак интеграла; f(х) – подынтегральная функция; f(х) dх – подынтегральное выражение; С – постоянная интегрирования, способная принимать любое значение; х – переменная интегрирования.

Интегрирование – это отыскание первообразной по ее производной. Это действие, обратное дифференцированию.

Геометрический смысл неопределенного интеграла: это семейство кривых, зависящих от одного параметра С, которые получаются путем параллельного переноса вдоль оси 0у.

у

С₁ Кубическая парабола у = dх = + С;

С₂ 0 х

С₃

Основные свойства неопределенного интеграла

1. d = f(х) + С.

2. = f(х) + С.

3. = С – постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

4. = + - интеграл суммы равен сумме интегралов.

Основные способы интегрирования

1. Метод непосредственного интегрирования, который заключается в использовании основных свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличному виду.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Используя 3 и 4 свойства неопределенного интеграла и таблицу интегрирования, получаем (таблица прилагается) = 3 + 2 = 3 - 2cоs х + С.

2. Метод подстановки или метод введения новой переменной.

Это самый эффективный прием сведения неопределенного интеграла к табличному виду.

Пример 2. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Положим х + 1 = t, тогда х = t – 1; = ; = . Продифференцировав х + 1 = t, получим dх = dt. = = = - 2 + = - 2 + =

- 2 + = + - + С = + - + С.

3. Метод интегрирования по частям. Пусть функция u = u(х) и v = v(х) определены и непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям: = uv - .

Пример 3. Найти .

Решение.

Обозначим u = ; dv = dх, = ,т.е. v = х; du = ( )' dх. По формуле (1) получаем: = х – = х – = х - х + С = х ( )+ С.

Таблица основных интегралов

Тема: «Вычисление определённых интегралов»

Теоретическая часть

Определенный интеграл – это общий предел всех интегральных сумм функции f(х) на отрезке [а, b]. Определенный интеграл обозначается: , где f(х) – подынтегральная функция; х – переменная интегрирования; число а называется нижним пределом интеграла, b – верхним; [а, b] – промежуток интегрирования.

Если F(х) – первообразная функция для непрерывной функции у = f(х), т.е. F'(х) = f(х), то имеет место формула: = F(х)| = F(b) – F(а). Это формула Ньютона – Лейбница – основная формула интегрального исчисления, устанавливающая связь между определенным и неопределенным интегралом.

Определенный интеграл – это разность значений любой первообразной функции для f(х) при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Разница между определенным и неопределенным интегралами: определенный интеграл – это число, а неопределенный интеграл – это функция.

Основные свойства определенного интеграла

1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

= - .

2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

= 0.

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

.

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы(разности) функций равен алгебраической сумме(разности) их определенных интегралов:

= .

5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

= С .

6. Если функция f(х) 0 всегда на отрезке [а,b], то

7. Если f(х) g(х) всюду на отрезке [а,b], то .

Пример 1. Вычислите: .

Решение. Применим формулу Ньютона – Лейбница и свойства определенного интеграла:

= 3 = |³₂ = - = 27 – 8 = 19.

Пример 2. Вычислите: .

Решение. Обозначим 4х + 3 = z, откуда 4dх = dz или dх = ; при х = – 1, t_н = – 4 + 3 = – 1; при х = 1, t_в = 4 +3 = 7. Следовательно,

= = = = .

Тема: «Геометрические приложения определенного интеграла»

Теоретическая часть

Тема: «Решение однородных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка»

Теоретическая часть

Тема: «Действия над комплексными числами, заданными в алгебраическом виде»

Теоретическая часть

Пример 1: Найдите сумму комплексных чисел:

1. 

2. 

3. 

Пример 2: Найдите произведение комплексных чисел:

Произведение комплексных чисел в алгебраической форме:

Пример 3: Выполните действия

Частное комплексных чисел в алгебраической форме:

Пример 4: Выполните действие

П ример 5: Найти модуль числа и число, противоположное и сопряженное комплексному числу

1. Модуль числа :

2. П ротивоположное число

3. Сопряженное число

Тема: «Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме»

Теоретическая часть

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a; b) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой — концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a; b) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z|. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z. Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) — ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ; r · sin φ).

Тригонометрическая форма комплексного числа: , где ,

Пример 1: Записать в тригонометрической форме комплексное число

Решение:

Решение: Найдем : , откуда , т.к. точка

лежит в третьей четверти.

Учитывая , имеем:

Произведение комплексных чисел:

Пример 2: Выполните действие

Частное комплексных чисел:

Пример 3: Выполните действие

Формула Муавра:

Пример 4: Выполните действие

Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:

Рассмотрим уравнение , или, то же самое: . Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при  получается квадратный корень

Уравнение вида  имеет ровно  корней , которые можно найти по формуле: , где  – это модуль комплексного числа ,  – его аргумент, а параметр  принимает значения:

Тема: «Вычисление вероятности событий с элементами комбинаторики»