Алгоритм метода потенциальных функций

Рассмотрим теперь алгоритм распознавания двух классов образов (обозначим эти классы по-прежнему через ₁ и ₂) по методу потенциальных функций.

Общая рекуррентная процедура метода потенциальных функций следующая:

f ⁿ⁺¹ (x) = q ⁿ f ⁿ (x) + r ⁿ K(x ⁿ⁺¹, x),

где q ⁿ и r ⁿ - некоторые числовые последовательности.

Обычно все qⁿ принимаются равными единице и используется следующий алгоритм:

f ⁰ (x)  0,

f ⁿ⁺¹ (x) = f ⁿ (x) + r ⁿ K(x ⁿ⁺¹, x)

где

или в краткой записи

г де f* - разделяющая функция и sign f*(x ⁿ⁺¹) = +1, если x ⁿ⁺¹  ₁ и sign f*(x ⁿ⁺¹) = -1, если x ⁿ⁺¹  ₂.

Таким образом, если rⁿ  0, это значит, что при вычислении разделяющей функции fⁿ произошла ошибка, которая учитывается и исправляется.

При показе первой точки х¹ разделяющая функция вычисляется по формуле:

3. Пример

Рассмотрим применение метода потенциальных функций к образам рис.2, причем воспользуемся потенциаль­ными функциями типа 1.

Рис.2

Прежде всего, следует выбрать подхо­дящее множество ортонормированных функций {φ_i(x)}. Удобно в частности, использовать полиномиальные функции Эрмита, так как они ортонормированны в интер­вале (-∞, ∞). В одномерном случае эти функции опреде­ляются формулой

где выражение при функции H_ℓ(x) является ортонормирующим множителем. Выпишем несколько первых членов функ­ции H_ℓ(x):

Для наглядности воспользуемся ортогональными функциям вместо их ортонормированных аналогов, более сложных с точки зрения вычислений. Можно показать, что исполь­зование ортогональных функций часто позволяет получить эк­вивалентные результаты для ортонормированных функций. Выбрав в качестве первого приближения m = 4 и следуя методу формирования ортогональных функций многих переменных из множества ортогональных функций од­ной переменной, получаем

Воспользовавшись соотношением (2), можно сформировать потенциальную функцию

где x_k1 и x_k2 суть компоненты вектора x_k.

В класс ω₁ входят образы {(1,0)^T, (0,-1)^T} и

в класс ω₂ – образы {(-1,0)^T,(0,1)^T}.

Применение алгоритма обучения по методу потенци­альных функций дает следующую после­довательность шагов.

Пусть x₁ =(1,0)^T—первый предъявленный образ. Поскольку он принадлежит классу ω₁, значение кумулятивного потенциала определяется как

Образ x₂=(0,—1)^Т принадлежит классу ω₁ . Вычислим K₁(x₂) :

K₁(x₂)=1+4(0)=1.

Так как K₁(x₂)>0 и x₂ принадлежит классу ω₁, то

.

Следующий предъявленный образ x₃ = (-1,0)^T принадле­жит классу ω₂, и, поскольку

т. е. K₂(х₃) меньше нуля, можно считать, что

Четвертый предъявленный образ x₄=(0,1)^T принадлежит классу ω₂, и поскольку

т. е. K₃(х₄) больше нуля, следует провести коррекцию:

Очередной цикл итерации по всем образам дает

Так как в данном цикле итерации при просмотре всех образов не совершено ни одной ошибки, это означает, что алгоритм сошелся и выдал решающую функцию