Задание 7.

Найти компоненты сильной связности ориентированного графа G.

Определение. Пусть граф G некоторый ориентированный граф. Компонентами сильной связности графа G называются все его сильно связные подграфы, не являющиеся собственными подграфами никакого другого сильно связного подграфа графа G.

Определение. Пусть дан граф G. Матрицей сильной связности называется матрица D(G)_{[n x n]}, где n – мощность множества вершин, с элементами d_ij, которые определяются следующим условием:

d_ij =

Алгоритм выделения компонент сильной связности базируется на двух утверждениях:

Утверждение 1. Пусть H₁, H₂,…, H_p есть компоненты сильной связности ориентированного графа G. Тогда после удаления из графа G всех вершин графа H₁ вместе с инцидентными им дугами, получится граф, компонентами сильной связности которого будут графы H₂,…, H_n.

Утверждение 2. Единицы i-той строки (i-того столбца) матрицы сильной связности D(G) графа G, соответствуют вершинам компоненты сильной связности графа G, в которую входит вершина x_i графа G.

Алгоритм выделения компонент

сильной связности ориентированного графа.

Шаг 1. Полагаем p=1, D₁(G) = D(G).

Шаг 2. Включаем во множество вершин очередной ( р -й) компоненты сильной связности H_p графа G вершины, соответствующие единицам первой строки матрицы D_р(G). В качестве матрицы смежности графа H_p – A(H_p) берем подматрицу матрицы A(G) , элементы которой находятся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из .

Шаг 3. Вычеркиваем из D_р(G) строки и столбцы, соответствующие вершинам . Если в результате не остаётся ни одной строки (и соответственно ни одного столбца), то р - количество компонент H₁, H₂,…, H_p сильной связности графа G, соответственно A(H₁), A(H₂),…, A(H_p) – их матрицы смежности. В противном случае обозначим оставшуюся после вычеркивания из D_р(G) соответствующих строк и столбцов матрицу через D_р+1 (G),положим р=р+1 (увеличим значение индекса р на единицу) и перейдем к шагу 2.

Решение:

Выпишем ранее сформированную матрицу смежности ориентированного графа G.

A(G) =

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	100
1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	0	0	0	1	0	0	1	0
3	1	0	0	1	0	0	0	1	0	0
4	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1
5	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0
6	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
7	0	0	0	0	1	0	0	1	0	0
8	1	0	1	0	0	0	1	0	1	0
9	0	1	0	0	1	0	0	0	0	0
10	0	0	0	0	0	1	0	1	0	1

Построим матрицу сильной связности графа G.

D(G) =

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	100
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
3	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
4	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
5	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
6	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
7	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
8	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
9	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
10	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

Так как матрица D(G) полностью состоит из единиц, то единственной компонентой связности графа G будет сам ориентированный граф G.

H₁