3. Решение задач линейного программирования симплексным методом с искусственным базисом (м – метод)

Задачи линейного программирования решаются с помощью симплексного метода с искусственным базисом в том случае, когда в условиях задачи имеются ограничения типа «≥» и «=». При канонической форме записи таких ограничений дополнительные переменные необходимо вводить со знаком «­–», что противоречит условию неотрицательности переменных. Так как отрицательные дополнительные переменные нельзя вводить в базис, то в этом случае естественного базиса задачи не существует, и ее нельзя решить по алгоритму симплексного метода. Для решения таких задач применяют алгоритм симплексного метода с искусственным базисом. Искусственный базис создается путем введения в левую часть уравнения в канонической форме искусственной переменной «y». Так если по условиям задачи имеется ограничение типа «≥» или «=»:

а_i.1х₁ + а_i.2х₂ + … + а_i.nх_n ≥ b_i

в канонической форме записи:

а_i.1х₁ + а_i.2х₂ + … + а_i.nх_n - х_n+I = b_i (3.1)

с введением искусственной переменной:

а_i.1х₁ + а_i.2х₂ + … + а_i.nх_n - х_n+I + y_i = b_i

Пример:

стандартная форма записи ограничений задачи выглядит следующим образом:

х₁ ≤ 1500 - по площади пашни

5х₁ + 50х₂ ≤ 12000 - по трудовым ресурсам

-10х₁ + 80х₂ ≤ 2000 - по кормам

х₂ ≤ 110 - по поголовью КРС

х₂ ≥10 - по плану производства молока

каноническая форма записи имеет вид:

х₁+ х₃ =1500

5х₁ + 50х₂+ х₄ = 12000

-10х₁ + 80х₂ + х₅ = 2000

х₂ + х₆ = 110

х₂ - х₇ = 10

с введением искусственной переменной имеем:

х₁+ х₃ =1500

5х₁ + 50х₂+ х₄ = 12000

-10х₁ + 80х₂ + х₅ = 2000

х₂ + х₆ = 110

х₂ - х₇ + y = 10

В первой симплексной таблице искусственную переменную y вводят в базис, как и положительные дополнительные переменные (см. таблицу 3.1). Для последующего исключения искусственных переменных из оптимального плана в функцию цели их вводят с очень большим по абсолютной величине коэффициентом:

Z = с₁х₁ + с₂х₂ + … + с_nх_n + 0(- х_n+I) ± М y_i → max (min) (3.2)

Пример:

Z = 3360х₁ + 40000х₂ + 0х₃ + 0х₄ + 0х₅ + 0х₆ - 0х₇ - М y → max

При этом коэффициенту присваивается знак «–», если задача решается на максим, и знак «+» если на минимум. В симплексной таблице дополнительно к индексной строке (m+1) вводится строка (m+2). Значения элементов для обеих индексных строк рассчитывается по формуле 2.3. при этом в строку (m+2) записываются слагаемые, которые содержат величину М. Для столбца b_i: формула будет иметь вид:

(3.3)

В связи с этим строку (m+2) называют М-строкой, а сам метод М-метод.

Пример расчета коэффициентов строк (m+1) и (m+2) для столбца b_i:

Z_j – с_j = 0·150+0·12000+0·2000+0·110+0·10-10М = 0 – 10М

3.1. Улучшение неоптимального плана

Если план не оптимален (наличие в индексной строке отрицательных значений при решении на максимум, и положительных значений и нулей – на минимум), то для его улучшения выбираются ключевые к-столбец и l-строка. Ключевые столбец и строка выбираются также как и обычном симплексном методе.

В процессе улучшения планов искусственные переменные «y» будут выведены из базиса и их столбцы вычеркиваются, а коэффициенты строки (m+2) будут равны нулю и в ней отпадает необходимость. В базисе останутся только основные и положительные дополнительные переменные, поэтому дальнейший поиск оптимального плана осуществляется по алгоритму симплексного метода, руководствуясь (m+1) строкой. Общий порядок улучшения в симплексном методе с искусственным базисом мало отличается от обычного симплексного метода. Особенностью улучшения плана в М-методе является то, что при выведении из базиса искусственной переменной «y», весь столбец вычеркивается из дальнейшего рассмотрения (таблица 3.2). Но для получения правильной суммы коэффициентов по строке (столбец 14) и сравнения со значениями в столбце «контроль», необходимо выполнять расчеты коэффициентов а_i.j и по этим столбцам (метод конверта). Контроль решения задачи осуществляется аналогично симплексному методу.