1.4. Поиск оптимального решения задачи

Поиск оптимального решения задачи осуществляется в следующей последовательности:

- прямую, параллельную прямым функции цели перемещают в направлении оптимизации (в ту сторону, в которой находится Z₂) до последней точки (или грани) касания с ОДР (на графике точка В);

- с графика снимаются координаты точки касания прямой функции цели с ОДР. Они соответствуют оптимальным значениям неизвестных х₁ и х₂. Если же линия Z_опт. касается грани ОДР, то координаты любой точки грани являются оптимальным решением задачи;

- для контроля решения задачи, координаты точки оптимума подставляются в исходные неравенства, в результате данной подстановки неравенства превращаются в равенства или сохраняют смысл;

- оптимальные значения неизвестных х₁ и х₂ подставляются в функцию цели и вычисляется ее оптимальное значений;

- формулируется полный ответ решаемой задачи.

Оптимальные значения неизвестных:

х₁ = 1300

х₂ = 110

Контроль решения задачи:

1300 ≤ 1500

5*1300 + 50*110 = 12000

- 10*1300 + 80*110 ≤ 2000

110 = 110

110 = 10

Вычисление значений функции цели:

Z = 3360∙1300 + 40000∙110=8768000

Ответ: оптимальным планом предусмотрено отвести под посев зерновых 1300 га пашни, поголовье КРС – 110 гол., при этом выход продукции в стоимостном выражении составит 8768000 руб.

2. Симплексный метод решения задач линейного программирования

Симплексный метод относится к универсальным методам линейного программирования, обеспечивающим эффективное решение разнообразных землеустроительных и других экономических задач.

Универсальность данного метода проявляется в том, что он позволяет решать задачи различной размерности, в которых технико-экономические коэффициенты (a_ij) при переменных (х_ij) выражены в разных единицах измерения.

Сущность симплексного метода заключается в нахождении оптимального решения задачи путем последовательного рассмотрения и анализа её допустимых базисных решений. Геометрически каждое допустимое базисное решение соответствует одной из вершин многоугольника в n – мерном пространстве (где n – количество переменных) ограничивающего в соответствии с условиями задачи ОДР задачи. В процессе решения задачи на каждой итерации осуществляется переход из одной вершины ОДР в смежную, связанную с не худшим значением целевой функции.

Порядок решения задачи

1. Постановка задачи (словесная формулировка с указанием условий задачи и функции цели).

2. Составление экономико-математической модели.

3. Составление исходного плана (первой симплексной таблицы).

4. Анализ плана на оптимальность.

5. Улучшение плана.

6. Контроль решения задачи.

7. Анализ оптимального решения.

1. Постановка задачи

Обычный симплексный метод позволяет решать задачи с ограничениями типа «≤», наличие условий типа «≥» или «=» говорит о необходимости применения симплексного метода с искусственным базисом. Чтобы решить задачу, приведенную в пункте 1.1. , исключим из рассмотрения пятое ограничение по плану производства молока (40х₂ ≥ 400).

2.2. Составление экономико-математической модели

Структурная модель задачи, решаемой симплексным методом, выглядит следующим образом:

система ограничений:

а_1.1х₁ + а_1.2х₂ + … + а_1.nх_n  b₁;

а_2.1х₁ + а_2.2х₂ + … + а_2.nх_n  b₂;

… … … … … … … (2.1)

а_m.1х₁ + а_m.2х₂ + … + а_m.nх_n  b_m;

требование неотрицательности основных переменных:

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, … , х_n ≥ 0.

целевая функция:

Z = (с₁х₁ + с₂х₂ + … + с_nх_n ) → max (min) (2.2)

где х_ij – переменные,

с_j - коэффициенты целевой функции,

a_ij – технико-экономические коэффициенты,

b_i - свободные члены (ресурсы),

m – количество переменных,

n – количество ограничений в задаче,

j – номер переменной,

i – номер ограничения,

 – знак «≤», «≥» или «=».

Для решаемой задачи стандартная форма записи экономико-математической модели выглядит следующим образом:

система ограничений:

х₁ ≤ 1500 - по площади пашни

5х₁ + 50х₂ ≤ 12000 - по трудовым ресурсам

-10х₁ + 80х₂ ≤ 2000 - по кормам

х₂ ≤ 110 - по поголовью КРС

условие неотрицательности основных переменных: х₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0.

целевая функция:

Z = 3360 х₁ + 40000 х₂ → max.