§ 3. Блок-схемы

Рассмотрим следующую задачу. Пусть имеется опытных полей и нужно испытать сортов пшеницы.

Чтобы эксперимент по проверке урожайности был правильным, разумно выполнить следующие три условия: а) на каждом поле выделяют одинаковое число k участков, в любой из которых высевают какой-либо один сорт пшеницы; б) каждый сорт высевают на одинаковом числе r опытных полей; в) каждая пара различных сортов пшеницы встречается вместе на одном и том же числе опытных полей.

Достаточно быстро можно понять, что не для любых значений k, r и можно обеспечить выполнение всех трёх условий.

В нашем примере при k = 3, r = 5 и нужная правильная схема эксперимента возможна. Приведём один из вариантов:

, , , , ,

, , , , .

(в скобках указаны номера сортов, посеянные на соответствующие поля).

Такие схемы были названы блок-схемами эксперимента. На основе изучения условий существования подобных схем в 20–30-х гг. XX в. возникла теория планирования эксперимента. Одно из основных понятий в ней – понятие уравновешенной неполной блок-схемы, или BIB-схемы (от английского balanced incomplete block design). Слово «уравновешенный» характеризует одинаковую частоту появлений элементов и пар элементов в блоках, а слово «неполный» служит для указания того, что, вообще говоря, не все k-элементные подмножества входят в рассматриваемые системы.

Отметим, что если уравновешенная неполная блок-схема с параметрами существует, то:

и . (4.16)

Частные случаи блок-схем в исследованиях математиков встречались и ранее. Среди них отметим системы троек Я. Штейнера (Steiner Jacob (1796–1863)). Так называют такое минимальное семейство трёхэлементных подмножеств множества , что для любых двух элементов a и b из существует один и только один элемент этого семейства, содержащий эти элементы a и b.

Наименьшее значение n, для которого имеется система троек Штейнера, это n = 3. В этом случае она состоит из одного подмножества множества – самого .

Следующее натуральное число n, для которого имеется система троек Штейнера, это n = 7: {1,2,3}, {1,4,6}, {1,7,5}, {2,5,6}, {2,4,7}, {6,3,7}, {3,4,5}. Эти тройки могут быть подобраны непосредственно или с помощью рис. 4.1, на котором необходимо расставить номера около выделенных кружочками семи точек. Один из вариантов такой расстановки показан на рис. 4.2:

Рис. 4.1	Рис. 4.2

Здесь смоделирована указанная выше система семи троек Штейнера. С другой стороны это оказалось моделью конечной проективной плоскости 2-го порядка. В ней всего 7 точек и 7 прямых. И эти объекты подчиняются следующим определяющим условиям относительно точек и прямых на проективной плоскости:

1. две различные точки принадлежат одной и только одной прямой;

2. две различные прямые имеют одну и только одну общую точку;

3. существуют четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой.

Теорема. Если или (k – натуральное число), то существует система троек Штейнера порядка n.

С помощью систем троек Штейнера были решены некоторые задачи о существовании конечных проективных плоскостей. Однако в этом направлении исследований до сих пор имеются нерешённые проблемы.

Изучаются и другие системы подмножеств конечного множества, удовлетворяющие некоторым условиям, связанным с частотой появления пар элементов (или иных подмножеств) множества в подмножествах системы.

В частности, система Штейнера – минимальный набор k-элементных подмножеств (называемых блоками) в некотором n-элементном множестве X, такой, что любое t-элементное подмножество X является подмножеством ровно в одном подмножестве этого набора.

При t=2, k=3 по этому определению получаются системы троек Штейнера. С другой стороны, системы Штейнера являются частным случаем BIB-схем при . Дополнительные сведения о блок-схемах и других комбинаторных конфигурациях можно найти в [Д47].