Сочетания

В тех случаях, когда в выборке нас не интересует порядок элементов, а интересует лишь её состав, го­ворят о сочетаниях. Итак, k-сочетаниями из элементов называют всевозможные выборки из данных n элементов объёма k без повторений элементов, отличающиеся друг от друга составом, но не порядком элементов. Число таких k-сочетаний, которые можно образовать из элементов, обозначают .

Формула для числа сочетаний легко получается из выведенной ранее формулы для числа размещений. В самом деле, каждое k-сочетание из элементов за счёт перестановок своих элементов порождает k! различных k-размещений из элементов без повторений.

Следовательно . Отсюда получаем:

. (4.10)

Так число различных делегаций из 10 человек по 3 человека равно .

Отметим, что в символе должно быть , при этом . Кроме того полезно ввести символ , определив его равенством = 1. Это соглашение не противоречит (4.10), так как в математике 0! = 1.

Числа обладают многими замечательными свойствами. Сформулируем три из них.

1. ( ). (4.11)

2. ( ). (4.12)

3. . (4.13)

Третье свойство можно доказать несколькими способами. Один из них – с помощью так называемого бинома Ньютона¹:

. (4.14)

Действительно, если в равенстве (4.14) подставить значения и , то получим равенство (4.13).

В силу формулы (4.14) числа называют биномиальными коэффициентами.

Долгое время считали, что известный французский философ, писатель, математик и физик Блез Паскаль (1623–1662) первый предложил записывать значения в виде следующей треугольной таблицы² (мы привели только 5 её первых строк):

……………………………..

В силу свойства (1) в каждой её строке числа, равноудалённые от концов, равны. В силу свойства (2) сумма двух рядом стоящих в строке чисел равна числу, расположенному между ними в следующей (более нижней) строке.

Учитывая, что крайние числа в этой таблице все равны 1, отмеченные два свойства позволяют легко заполнять её строки последовательно, одну за другой:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

…………………………….

Свойство (3) применительно к этому треугольнику Паскаля означает, что сумма чисел в n-й строке равна . Например, сумма чисел в 7-й строке равна .

Укажем краткую информацию ещё об одной классической конфигурации. В комбинаторных задачах встречаются выборки объёма k из данных n элементов, отличающиеся друг от друга составом, но не порядком элементов, в которых могут быть повторяющиеся элементы. Такие конфигурации называются сочетаниями с повторениями из n элементов по k.

Число всех сочетаний с повторениями из n элементов по k обозначается символом и вычисляется по формуле: = . (4.15)

Приведём типичный пример на эту ситуацию:

Пример 7. В магазине имеются пирожные трёх видов. Сколькими способами можно составить набор из пяти пирожных?

Решение. В задаче требуется установить число выборок, состоящих из пяти элементов, среди которых непременно будут повторяющиеся. Ясно, что порядок следования пирожных в наборе не имеет существенного значения. Поэтому каждый набор представляет собой сочетание с повторениями из 3 (три вида пирожных) по 5 (в набор включается 5 пирожных).

Воспользуемся формулой (4.15): = = . Теперь вычисляем по формуле (4.10): = = = 21. Ответ: 21.

Завершая этот параграф, укажем, что в Excel 2007 (и 2010) для вычислений биномиальных коэффициентов достаточно выбрать:

Формулы – Математические – ЧИСЛКОМБ (n; k);

для вычислений числа размещений , соответственно:

Формулы – Другие функции – Статистические – ПЕРЕСТ (n; k);

а вычислений числа перестановок :

Формулы – Другие функции – Статистические – ПЕРЕСТ (n; n).