Размещения

Пусть Х – конечное множество, состоящее из n элементов.

Совокупность k элементов из n-элементного множества Х называется (комбинаторной) выборкой из n элементов объёма k, или коротко: выборкой из n по k.

Примеры в практических ситуациях показывают, что в выборках иногда важен порядок выбираемых элементов, а иногда этот порядок не учитывается. Например, порядок важен, когда из n спортсменов выбирают троих для награждения золотой, серебряной и бронзовой медалями. Напротив, порядок выбора элементов не существенен, когда выбирают делегацию, например трёх представителей от этих n спортсменов.

Выборки из n по k, в которых важен порядок выбираемых элементов и при этом выбираемые элементы не повторяются, называются размещениями без повторений из n по k, а их количество обозначают .

Подсчитаем эту величину. Заметим, что в качестве первого элемента такой выборки мы можем выбрать любой из имеющихся элементов. Если этот выбор уже сделан, то на роль второго элемента приходится выбирать из оставшихся предметов – ведь повторно брать выбранный ранее элемент нельзя. Точно так же на роль третьего по порядку элемента можно выбрать только любой из оставшихся элементов, и т. д. Число возможностей выбора с каждым шагом уменьшается на 1. При выборе последнего, т. е. k-го элемента, будет вариантов. Поэтому по правилу произведения получаем, что число всех k-размещений без повторений из предметов выражается следующим образом:

. (4.5)

Пример 4. Число различных награждений названными выше медалями троих спортсменов из 10 равно .

Отметим, что в символе допустимы только значения , причём вместо равенства (4.5) можно применять формулу

. (4.6)

Теперь рассмотрим выборки из n по k, в которых по-прежнему важен порядок выбираемых элементов, но элементы могут повторяться. Такие конфигурации называются размещениями с повторениями из n элементов по k, а их общее число обозначается .

Например, если X = {a,b,c,d}, и мы составляем всевозможные трёхэлементные размещения из элементов этого множества с повторениями (n = 4, k = 3), то теперь среди различных исходов данного опыта могут быть, например, комбинации aaa, aab, aac (перечислите все).

Формула для вычисления числа всех размещений с повторениями из n элементов по k имеет следующий вид (заметим, что теперь k в ней любое натуральное число ):

= n^k. (4.7)

Пример 5. Шесть разноцветных шариков случайным образом рассыпаются по четырём лункам (в одну лунку может поместиться любое число шариков). Сколько существует различных способов распределения шариков по лункам?

Решение. Занумеруем шарики. Для первого шарика лунка может быть выбрана четырьмя способами, для второго – тоже четырьмя и т. д. В итоге число способов распределения 6 шариков по 4 лункам равно

= 4096.

Перестановки

Если образовано размещение без повторений из n элементов по k, в котором , то его называют перестановкой из n элементов.

Число таких перестановок обозначают символом .

Формула для вычисления получается из формулы (4.5) для числа размещений без повторений:

, т. е. . (4.8)

Пример 6. Сколько различных упорядоченных комбинаций можно составить из букв слова «музыка»? Сколько таких комбинаций можно составить из букв слова «молоко»?

Решение. Поскольку в слове “музыка” все буквы различны, то число спрашиваемых комбинаций равно числу перестановок шести различных элементов: = 6! = 720.

Во втором случае как и в первом вопросе, но формула числа перестановок (4.8) не может быть применена – буква «о» повторяется в слове три раза, и, меняя местами любые две буквы «о», мы не получим новой комбинации. Поэтому для ответа на второй вопрос нужно 720 разделить на число перестановок трёхэлементного множества, т. е. разделить на 3! = 6. Значит, число различных упорядоченных комбинаций из букв слова «молоко» – только 120.

Ответ: 720; 120.

В последнем примере нам встретились перестановки с повторениями.

В общем случае это выборки, состоящие из n элементов, не обязательно различных. Пусть в них всего k различных элементов, причём первый из них встречается раз, второй – раз, …,  k-й –   раз. Ясно, что тогда: n₁ + n₂ + …+ n_k = n. Такие перестановки называют перестановками с повторениями, а их общее число обозначается или более подробно .

Общая формула для вычисления числа перестановок с повторениями указанного вида получится, если, как в примере о перестановках букв слова «молоко», мы подсчитаем сначала все перестановки в предположении различности всех n элементов – таких перестановок n!, а затем учтём, что на самом деле их меньше в -факториал раз из-за повторяемости раз первого элемента, в -факториал раз из-за повторяемости раз второго элемента и т. д. Окончательно получается формула вида:

= = . (4.9)