Элементы комбинаторики

Основные правила комбинаторики. Размещения, сочетания, перестановки (без повторений и с повторениями). Другие примеры комбинаторных конфигураций и их применения. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.

Комбинаторика (комбинаторный анализ) – раздел математики, который занимается изучением различного вида конфигураций из элементов конечного множества, а также подсчётами их количеств.

Наиболее известные простые конфигурации – это сочетания, перестановки, размещения (с повторениями элементов или без). Кроме них в этой главе будут даны некоторые сведения о так называемых блок-схемах.

Комбинаторика имеет широкий спектр применений во многих других областях самой математики, а также, например, в информатике, статистической физике и социологии.

§ 1. Основные правила комбинаторики

Многие задачи комбинаторики решаются с помощью двух основных правил – правила включений-исключений и правила произведения.

Напомним, если Х – конечное множество, то количество его элементов мы обозначаем символом |Х|. Т. о., если в нём n элементов, то |Х|=n.

Очевидно, что для множеств Х и Y, не имеющих общих элементов (это значит ) выполняется равенство .

В различных задачах предположение не выполняется. Тогда при вычислении каждый элемент из будет сосчитан дважды. Поэтому в этих случаях справедливо следующее равенство:

(4.1)

Если подобное равенство написать для трёх произвольных конечных множеств A, B, C, то теперь придется учесть, что при вычитании количеств элементов в парных пересечениях придётся прибавить количество элементов, содержащееся во всех трёх множествах:

. (4.2)

Уже в этой записи в полной мере проявляется основная закономерность написания таких равенств:

Правило включений-исключений. Чтобы вычислить количество элементов объединения конечного семейства данных конечных множеств надо: 1) сложить (включить!) количества элементов в отдельных множествах; 2) из этой суммы вычесть (исключить!) количества элементов в пересечениях всевозможных пар этих множеств; 3) к полученному ответу прибавить количества элементов в пересечениях всевозможных троек этих множеств; 4) из этой новой суммы вычесть количества элементов в пересечениях всевозможных четырёх этих множеств; и т. д., пока не будет учтено количество элементов в пересечении всех данных множеств.

Мы не будем писать это общее правило символически (и доказывать его). Отметим только, что доказательство можно осуществить методом математической индукции и основой его (база индукции) служит равенство (4.1). Вместо обоснования индуктивного шага (т. е. перехода от случая n множеств к n + 1 множествам), мы покажем, как можно вывести равенство (4.2) на основе трёхкратного применения (4.1), используя свойства операций над множествами:

.

Пример 1. Из 100 студентов английский язык знают 28 человек, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, все три языка знают 3 человека. Сколько человек не знают ни одного из названных языков?

Решение. Обозначим через А множество студентов, знающих английский язык, через Н – знающих немецкий и, соответственно, Ф – французский. Тогда |А| = 28, |Н| = 30, |Ф| = 42, |А Н| = 8, |А Ф| = 10, |Н Ф| = 5 и |А Н Ф| = 3.

Эти данные и формула (4.2) позволяют найти количество студентов, знающих хотя бы один из названных языков:

|А Н Ф| = 28 + 30 + 42 – 8 – 10 – 5 + 3 = 80.

Следовательно, 100 – 80 = 20 студентов не знают ни одного языка.

Сформулируем простейший вариант второго правила комбинаторики, называемого правилом произведения.

Если объект можно выбрать способами и если после каждого такого выбора объект можно выбрать способами, то выбор упорядоченной пары можно осуществить способами.

Эта формулировка, если применить символ операции прямого произведения к конечным множествам A и B, соответствует свойству:

. (4.3)

Естественно, что подобное свойство выполняется и для n конечных множеств :

. (4.4)

Пример 2. Наряд студентки состоит из блузки, юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе четыре блузки, пять юбок и три пары туфель. Сколько нарядов может сменить студентка?

Решение. Пусть сначала студентка выбирает блузку. Этот выбор может быть совершён четырьмя способами, так как студентка имеет четыре блузки, затем пятью способами произойдет выбор юбки и тремя способами выбор туфель. По правилу умножения получается  = 60 нарядов (комбинаций).

Пример 3. Сколько всего подмножеств имеет множество A, в котором n элементов?

Решение. Заметим, что любое подмножество множества однозначно определяется составом своих элементов. При образовании по отношению к каждому элементу из A возможны два варианта выбора: либо он взят в , либо нет. И эти возможности не зависят от вариантов выбора других элементов. Следовательно, число всевозможных различных составов взятых из множества A элементов, т. е. число всех подмножеств множества A по комбинаторному правилу произведения (4.4) равно .

§ 2. Размещения, перестановки, сочетания

В комбинаторике наряду с решениями задач по общим правилам часто пользуются готовыми специальными формулами. Дело в том, что некоторые типы задач основаны на часто встречающихся конфигурациях. Комбинациям, которые встречаются в этих задачах, присвоены особые названия — размещения, пе­рестановки и сочетания. Для числа таких комбинаций с помощью правил комбинаторики выведены особые фор­мулы, которыми и пользуются при решении многих комбинаторных задач.