§ 4. Теорема Эйлера и её следствия

Пусть G – плоский граф, т. е. граф нарисованный на некоторой плоскости без точек пересечения его рёбер (т. е. общими у его рёбер могут быть только вершины). Тогда рёбра такого графа делят эту плоскость на непересекающиеся области, в которых нет вершин и точек рёбер этого графа. Эти области называются гранями графа G.

Сформулируем научное определение грани плоского связного графа G. Это множество точек плоскости , не принадлежащих множеству вершин этого G и любому ребру этого G, удовлетворяющих свойству: любые две точки этого множества могут быть соединены непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому же множеству.

Например, плоский связный граф на рис. 3.13 (у него одно из рёбер висячее) имеет 5 граней. Одна из них – неограниченная, она называется внешней гранью графа.

Рис. 3.13. Граф с 8 вершинами и висячим ребром

Оказывается, что количества вершин, рёбер и граней связного плоского графа удовлетворяют простому соотношению.

Теорема 7 (Л. Эйлер). Пусть G – связный простой граф и пусть В, Р и Г – соответственно числа вершин, рёбер и граней графа G. Тогда

В + Г = Р + 2.

Так, для графа на рис. 3.13 имеем: 8 + 5 = 11 + 2.

Следствие 1. Пусть G – плоский граф с В вершинами, Р рёбрами, Г гранями и К компонентами связности. Тогда

В + Г = Р + К + 1.

Следствие 2. Пусть G – связный простой планарный граф с В вершинами и Р рёбрами, В > 3. Тогда Р ≤ 3В – 6.

Приведённые утверждения позволяют находить точное значение или некоторую оценку какой-либо из неизвестных В, Р или Г с помощью информации (иногда и частичной) об остальных значениях (см. пример 2 в материалах к практическому занятию по теории графов).

§ 5. Раскраска вершин графа

В прикладных задачах теории графов приходится делать различные разметки элементов графа (вершин, рёбер, граней), в частности – раскраску. Когда говорят о раскраске графов, почти всегда подразумевают под этим правильную раскраску их вершин, то есть присвоение цветовых меток вершинам графа так, чтобы любые две соседние вершины имели разные цвета.

Аналогично, правильная раскраска рёбер присваивает цвет каждому ребру так, чтобы любые два смежных ребра (т. е. имеющие общую вершину) были покрашены в разные цвета. Наконец, правильная раскраска граней плоского графа означает, что каждые две грани, имеющие общую границу, не могут иметь одинаковый цвет.

Терминология, в которой метки называются цветами, происходит от раскраски политических карт. Такие метки, как красный или синий, используются только когда число цветов мало, обычно же подразумевается, что метки являются натуральными числами 1,2,3,....

Правильная раскраска с использованием k цветов называется k-раскраской. Наименьшее число цветов, необходимое для правильной раскраски вершин графа G, называется его хроматическим числом и обозначается как .

Отметим, что хроматическое число полного графа с n вершинами равно n. В частности, для правильной раскраски вершин графа на рис. 3.3 необходимо 5 цветов. Вместе с тем для правильной раскраски вершин куба (граф на рис. 3.5) достаточно двух цветов.

Задача об обслуживании авиалиний. Имеется некоторый город M, который связан авиарейсами с городами A₁, A₂, ..., A_m. Пусть, согласно расписанию, маршрут MA_iM обслуживается в промежуток времени [a_i, b_i], т. е. с момента времени a_i по момент времени b_i включительно самолёт обеспечивает полёт в город A_i и обратно. Таким образом, задано m временных промежутков [a₁, b₁], ..., [a_m, b_m]. Требуется указать, какое минимальное число самолётов достаточно для обслуживания всех рейсов?

Для решения задачи по запланированному расписанию временных промежутков определим граф G, вершинами которого будут эти временные промежутки, а две его вершины будут соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующие временные промежутки имеют непустое пересечение (что означает невозможность обслуживать одним самолётом два маршрута, соответствующих этим вершинам).

Для этого графа имеет место следующее утверждение: искомое минимальное число самолётов равно хроматическому числу графа G.

В самом деле, при правильной раскраске вершин этого графа G имеющим одинаковый цвет вершинам соответствуют маршруты авиарейсов, которые могут быть обслужены одним самолётом. С другой стороны, если некоторое число самолётов достаточно для обслуживания всех m маршрутов, то, окрасив одним цветом все рейсы, обслуживаемые одним самолётом, мы получим некоторую правильную раскраску графа G.

Аналогично рассмотренной задаче об авиарейсах к поиску правильной раскраски и хроматического числа графа сводятся многие задачи по составлению графика осмотров (каждый осмотр требует заданный отрезок времени) за минимальное время, распределения оборудования, распределения памяти в ЭВМ и другие.

Отметим, что разработано несколько алгоритмов нахождения правильной раскраски вершин графа с использованием минимального количества красок. Приведем алгоритм последовательной раскраски:

1. Занумеруем вершины графа G: .

2. Вершину красим первой краской.

3. Предположим, что вершины уже раскрашены и на это использовано n красок.

3.1. Если на раскрашенные вершины, смежные с вершиной , использованы все эти n красок, то вершину раскрашиваем (n+1)-й краской.

3.2. Если среди этих n красок найдется краска, которая не использована для раскрашенных вершин, смежных с , то вершину красим этой краской.

Если хроматическое число графа равно двум, граф называется бихроматическим. В таких графах множество вершин делится на два непересекающихся подмножества и , в каждом из которых элементы не связаны рёбрами между собой. Такие графы называют двудольными.

Из приведённых на рисунках выше графов бихроматическими являются графы на рис. 3.5 и 3.12.

К задачам о двудольных графах сводится большое число задач, называемых задачами о назначениях. К ним относятся, например, задачи о назначении сотрудников на должности; о распределения товаров со складов по торговым точкам и другие.

Во всех этих задачах исходное множество состоит из двух различных по смыслу подмножеств, а связи могут быть только между элементом одного и элементом второго из этих подмножеств.

Приведём одну из оценок и критерий бихроматичности графа:

Теорема 1. Если p – наибольшая степень вершин графа G, то .

Теорема 2 (Д. Кёниг). Граф является бихроматическим тогда и только тогда, когда он не содержит циклов нечётной длины.

Дополнение к главе. В этой главе мы познакомились с некоторыми свойствами неориентированных простых графов и их применениями. В общей теории графов граф может содержать:

– несколько рёбер, соединяющих одинаковую пару вершин (такие рёбра называются кратными или параллельными);

– рёбра, соединяющие вершину саму с собой (петли).

Кроме того, помимо рёбер, в общей теории графов рассматриваются ветки, определяемые упорядоченной парой вершин (в этом случае наряду с веткой в графе может быть отличающаяся от неё ветка ). Учитывая сказанное, а также возможную кратность веток и петель, в общей теории графов обозначение веток приходится усложнять: – ветка с началом в вершине u, с концом в вершине v, а x – её ‘тело’, которое на рисунке изображается отрезком (или иной несамопересекающейся непрерывной линией) со стрелкой в концевой точке.

В силу нового обозначения имеем: x – ребро графа, соединяющее вершины , в том и только в том случае, когда и – ветки этого графа. В этом случае стрелки на обоих концах ребра x не рисуют.

Если граф имеет ветку , но у него нет ветки , то ветка называется дугой.

В общей теории многие изложенные в этой главе свойства графов обоснованы и для графов, в которых нет рёбер (они называются ориентированными графами, или диграфами), а также для смешанных графов. Подробнее об этом см. в [Д30].