Задачи на уравновешенные неполные блок-схемы
№ 20. Построить систему троек Штайнера для n 9.
№ 21. В 1847 г. Р. Киркман (R. Th. Kirkman) поставил следующую задачу о 15 школьницах. Они должны были гулять ежедневно пятью группами по три в каждой группе. При этом необходимо было так составить расписание для их прогулок, чтобы каждая школьница в течение семи дней смогла точно один раз попасть в одну группу с каждой из остальных.
№ 22. Тренер хоккейной команды из 18 кандидатов должен выявить наиболее перспективную пару нападающих. Для этого он выпускает на игровое поле различные составы по 5 игроков из этих 18. Какое наименьшее количество «пятерок» надо испытать, чтобы каждая пара кандидатов побывала в игре в составе какой-либо «пятерки»?
№ 23. Пусть для выборочной проверки 11-классников школ города имеется 16 различных вариантов теста по математике. Было принято решение использовать по 4 варианта в каждой проверяемой школе, но так, чтобы любые два варианта из 16 были бы использованы хотя бы в одной из школ. Какое наименьшее количество школ можно охватить такой проверкой всеми 16 вариантами?
Ответы
№ 1.
60 %. № 2.
10. № 3.
10. № 4.
266. № 5.
3136.
№ 6. 120.
№ 7. 5040.
№ 8. 125.
№ 9. 720.
№ 10. 96.
№ 11. 60480.
№ 12.
.
№ 13. 120.
№ 14. 729.
№ 15. а)
2
19!,
б) 18
19!.
№ 16. 794.
№ 17. 2475.
№ 20. {1,2,3},
{1,4,5}, {1,6,8}, {1,7,9}, {2,4,9}, {2,5,6}, {2,7,8}, {3,4,8},
{3,5,7}, {3,6,9}, {4,6,7}, {5,8,9}.
№ 21. 1. {1, 8, 15}, {2, 3, 5}, {4, 10, 13}, {6, 9, 14}, {7, 11, 12},
2. {2, 9, 15}, {3, 4, 6}, {5, 11, 14}, {7, 8, 10}, {1, 12, 13},
3. {3, 10, 15}, {4, 5, 7}, {6, 8, 12}, {1, 9, 11}, {2, 13, 14},
4. {4, 11, 15}, {1, 5, 6}, {7, 9, 13}, {2, 10, 12}, {3, 8, 14},
5. {5, 12, 15}, {2, 6, 7}, {1, 10, 14}, {3, 11, 13}, {4, 8, 9},
6. {6, 13, 15}, {1, 3, 7}, {2, 8, 11}, {4, 12, 14}, {5, 9, 10},
7. {7, 14, 15}, {1, 2, 4}, {3, 9, 12}, {5, 8, 13}, {6, 10, 11}.
№ 22. 18. № 23. 20. (Задачи № 22 и № 23 подробно решены на стр. 275–276 и 280–281 в [Д35]).
1 Формула (4.14) для целых положительных n была известна задолго до И. Ньютона, например, китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII в., а также среднеазиатским математикам ат-Туси (XIII в.) и ал-Каши (XV в.).
2 Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов встречается в комментарии индийского математика X в. Халаюдхи. Этот числовой треугольник около 1100 года исследуется также персидским и таджикским поэтом, математиком, астрономом и философом Омаром Хайямом, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. Китайцы называют его треугольником Яна Хуэя.